п.11. Касательная к гиперболе.

Теорема. Пусть  – произвольная точка гиперболы

                                   .

Тогда уравнение касательной к этой гиперболе

в точке   имеет вид:

                                 .Продолжение...

п.8. Директрисы гиперболы.

Определение. Директрисами гиперболы называются две прямые, уравнения которых в канонической для гиперболы системе координат имеют вид

                                      .

Так как , то .Продолжение...

п.5. Построение гиперболы.

Строим основной прямоугольник гиперболы и проводим его диагонали. Продолжая диагонали прямоугольника за его пределы, получаем асимптоты гиперболы.

   В силу симметрии достаточно построить гиперболу в первой четверти, где она является графиком функции

                      Продолжение...

п.3. Свойства гиперболы.

Теорема. (Свойства гиперболы.)

1. В канонической для гиперболы системе координат, в полосе

нет точек гиперболы.

2. Точки  лежат на гиперболе.

3. Гипербола является кривой, симметричной относительно своих главных осей.Продолжение...

п.1. Основные определения.

Определение.

Гиперболой называется ГМТ плоскости модуль разности расстояний которых

до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть

величина постоянная.

                                         рис.1.Продолжение...

п.7. Директрисы эллипса.

Определение. Директрисами эллипса называются две прямые, которые в канонической для эллипса системе координат имеют уравнения

                           или .                             (13)

                                          рис.8.Продолжение...

п.6. Зеркальное свойство эллипса.

Теорема. Касательная к эллипсу имеет равные углы с фокальными радиусами точки касания.

                                           рис.7.Продолжение...

п.5. Касательная к эллипсу.

Теорема. Пусть  – произвольная точка эллипса

                                   .

Тогда уравнение касательной к этому эллипсу в точке   имеет вид:

                                 Продолжение...

п.3. Свойства эллипса.

Теорема. (Свойства эллипса.)

1. В канонической для эллипса системе координат, все

    точки эллипса находятся в прямоугольнике

                                , .

2. Точки  лежат на

    эллипсе.

3. Эллипс является кривой, симметричной относительно

    своих главных осей.Продолжение...

п.2. Каноническое уравнение эллипса.

Теорема. В канонической для эллипса системе координат уравнение эллипса имеет вид:

                                   .                                     (4)Продолжение...

п.1. Основные определения.

Определение. Эллипсом называется ГМТ плоскости сумма расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

                    Продолжение...

Задача 7. Найти расстояние от данной точки  до данной прямой .

   Решение. Задача решается аналогично предыдущей.

                                            рис.14.Продолжение...

Задача 1. Найти уравнение прямой, проходящей через две заданные точки  и .

   Эта задача нами уже решена,

задача 1:

                        .

Задача 2. Найти угол между двумя прямыми

         и .Продолжение...

п.2. Уравнение связки плоскостей.

Определение. Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, имеющих одну общую точку, которая называется центром связки.

Теорема. Пусть , ,

– три плоскости в ПДСК Охуz, имеющие единственную общую точку . Тогда уравнение ,                                             (7)Продолжение...

п.1. Уравнение пучка прямых на плоскости.

Определение. Пучком прямых на плоскости называется множество всех прямых данной плоскости, имеющих одну общую точку, которая называется центром пучка.

                                             рис.1.

На рис.1 точка  – центр пучка.

Теорема. Пусть

 и Продолжение...

п.5. Взаимное расположение трех плоскостей.

   Пусть даны три плоскости: ,  и , , ,  – их нормальные векторы, соответственно. Рассмотрим все возможные случаи.

1) Все три плоскости совпадают: . Очевидно, что в этом случае .

2) Две плоскости совпадают, а третья параллельна им, например:  и в этом случае .

3) две плоскости совпадают, а третья пересекает их, например:  – прямая пересечения.

   В этом случае,

                                               рис.9.Продолжение...

п.3. Взаимное расположение двух плоскостей.

   Плоскости могут совпадать, быть параллельными или пересекаться по прямой.

                                           рис.3.

                                                рис.4.

                                                рис.5.Продолжение...