п.6. Зеркальное свойство эллипса.

Теорема. Касательная к эллипсу имеет равные углы с фокальными радиусами точки касания.

                                           рис.7.

   Пусть  – точка касания, ,  – фокальные радиусы точки касания, Р и Q – проекции фокусов на касательную, проведенную к эллипсу в точке .

   Теорема утверждает, что

                                  .                            (11)

Это равенство можно интерпретировать как равенство углов падения и отражения луча света от эллипса, выпущенного из его фокуса. Это свойство получило название зеркального свойства эллипса:

   Луч света, выпущенный из фокуса эллипса, после отражения от зеркала эллипса проходит через другой фокус эллипса.

   Доказательство теоремы. Для доказательства равенства углов (11) мы докажем подобие треугольников   и , в которых стороны  и  будут сходственными. Так как треугольники прямоугольные, то достаточно доказать равенство

                                   .                                       (12)

Так как по построению  – расстояние от фокуса  до касательной L (см. рис.7), . Воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой на плоскости:

      .

Так как уравнение касательной к эллипсу в точке  имеет вид

                                 ,

,

                     .

Здесь мы воспользовались формулами (5) для фокальных радиусов точки эллипса.

Теорема доказана.

Второе доказательство теоремы:

, ,  – нормальный вектор касательной L.

. Отсюда, .

Аналогично находим,  и , ч.т.д.