Зеркальное свойство эллипса
п.6. Зеркальное свойство эллипса.
Теорема. Касательная к эллипсу имеет равные углы с фокальными радиусами точки касания.
Пусть – точка касания,
,
– фокальные радиусы точки касания, Р и Q – проекции фокусов на касательную, проведенную к эллипсу в точке
.
Теорема утверждает, что
. (11)
Это равенство можно интерпретировать как равенство углов падения и отражения луча света от эллипса, выпущенного из его фокуса. Это свойство получило название зеркального свойства эллипса:
Луч света, выпущенный из фокуса эллипса, после отражения от зеркала эллипса проходит через другой фокус эллипса.
Доказательство теоремы. Для доказательства равенства углов (11) мы докажем подобие треугольников и
, в которых стороны
и
будут сходственными. Так как треугольники прямоугольные, то достаточно доказать равенство
. (12)
Так как по построению – расстояние от фокуса
до касательной L (см. рис.7),
. Воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой на плоскости:
.
Так как уравнение касательной к эллипсу в точке имеет вид
,
,
.
Здесь мы воспользовались формулами (5) для фокальных радиусов точки эллипса.
Теорема доказана.
Второе доказательство теоремы:
,
,
– нормальный вектор касательной L.
. Отсюда,
.
Аналогично находим, и
, ч.т.д.
Оставьте комментарий!