п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

   Обозначим через  – подмножество поля , состоящее из тех пар действительных чисел, второй элемент которых равен нулю. Пусть . Тогда по правилам сложения и умножения пар , . Это дает нам возможность отождествить такие пары с их первым элементом, а само множество  с множеством R.

   Положим по определению . Отсюда, в частности, , .

Далее, заметим, что любую пару из  мы можем представить в виде: .

Для пары  введем специальное обозначение. Положим по определению . Тогда

(3)                    .

Такую форму записи комплексного числа называют алгебраической.

   Само поле комплексных чисел обозначают буквой С.

                             .

   Заметим, далее, что . Это означает, что комплексное число  является корнем квадратного уравнения . Легко видеть, что вторым корнем этого уравнения является комплексное число . Действительно, .

   Таким образом, можно дать следующее определение комплексных чисел.

Определение. Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел , которая обычно записывается в виде , где элемент i  является корнем квадратного уравнения , т.е. .

Определение. Пусть  – алгебраическая форма записи комплексного числа. Элемент i  называется мнимой единицей. Действительное число а называется вещественной частью комплексного числа z и обозначается . Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается .

Определение. Комплексное число, вещественная часть которого равна нулю, называется чисто мнимым.

   Из определения алгебраической формы записи комплексного числа (см. равенство (3)) сразу же вытекает условие равенства двух комплексных чисел:

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части, т.е.

            .

Здесь & – знак конъюнкции, логическая связка "и".

   Замечание. Из определений вытекает, что , т.е. любое действительное число есть комплексное число с нулевой мнимой частью. Любое комплексное число можно рассматривать как результат сложения двух комплексных чисел, одно из которых является действительным числом (его мнимая часть равна нулю), другое – чисто мнимое: