Запись комплексных чисел
п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.
Обозначим через – подмножество поля
, состоящее из тех пар действительных чисел, второй элемент которых равен нулю. Пусть
. Тогда по правилам сложения и умножения пар
,
. Это дает нам возможность отождествить такие пары с их первым элементом, а само множество
с множеством R.
Положим по определению . Отсюда, в частности,
,
.
Далее, заметим, что любую пару из мы можем представить в виде:
.
Для пары введем специальное обозначение. Положим по определению
. Тогда
(3) .
Такую форму записи комплексного числа называют алгебраической.
Само поле комплексных чисел обозначают буквой С.
.
Заметим, далее, что . Это означает, что комплексное число
является корнем квадратного уравнения
. Легко видеть, что вторым корнем этого уравнения является комплексное число
. Действительно,
.
Таким образом, можно дать следующее определение комплексных чисел.
Определение. Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел , которая обычно записывается в виде
, где элемент i является корнем квадратного уравнения
, т.е.
.
Определение. Пусть – алгебраическая форма записи комплексного числа. Элемент i называется мнимой единицей. Действительное число а называется вещественной частью комплексного числа z и обозначается
. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается
.
Определение. Комплексное число, вещественная часть которого равна нулю, называется чисто мнимым.
Из определения алгебраической формы записи комплексного числа (см. равенство (3)) сразу же вытекает условие равенства двух комплексных чисел:
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части, т.е.
.
Здесь & – знак конъюнкции, логическая связка "и".
Замечание. Из определений вытекает, что , т.е. любое действительное число есть комплексное число с нулевой мнимой частью. Любое комплексное число можно рассматривать как результат сложения двух комплексных чисел, одно из которых является действительным числом (его мнимая часть равна нулю), другое – чисто мнимое:
Оставьте комментарий!