п.5. Взаимное расположение трех плоскостей.

   Пусть даны три плоскости: ,  и , , ,  – их нормальные векторы, соответственно. Рассмотрим все возможные случаи.

1) Все три плоскости совпадают: . Очевидно, что в этом случае .

2) Две плоскости совпадают, а третья параллельна им, например:  и в этом случае .

3) две плоскости совпадают, а третья пересекает их, например:  – прямая пересечения.

   В этом случае,

     

                                               рис.9.

4) Все три плоскости параллельны друг другу: . Тогда .

5) Две плоскости параллельны, а третья пересекает их, например: . В этом случае  – прямая пересечения плоскостей  и ,  – прямая пересечения плоскостей  и  и, как известно из курса геометрии, . Нормальные векторы .

        

                                                рис.10.

6) Все три плоскости пересекаются по одной прямой и тогда , но все три вектора ,  и  лежат в одной плоскости.

    

                                            рис.11.

7) Каждая пара плоскостей пересекается по своей прямой, образуя треугольную "трубу" и  , но все три вектора ,  и  лежат в одной плоскости.

 

                                               рис.12.

8) все три плоскости пересекаются в одной точке и их нормальные векторы некомпланарны.

                                         рис.13.

   Анализируя все эти случаи, мы приходим к следующему выводу.

Теорема. Пусть даны общие уравнения трех плоскостей:

                          ,

                          ,

                          ,

где , ,  – их соответствующие нормальные векторы. Тогда:

1) если смешанное произведение

                       ,

то все три плоскости пересекаются в одной точке, координаты которой можно найти решив систему уравнений

                      ,                             (8)

используя, например, формулы Крамера:

                       , , ,

где  – определитель системы,

, , ;

2) если смешанное произведение

                       ,

а система уравнений (8) не имеет решений, то имеет место случай 2, 4, 5 или 7 из рассмотренных выше.

3) если смешанное произведение

                       ,

а система уравнений (8) имеет бесконечно много решений, то имеет место случай 1, 3, или 6 из рассмотренных выше.

   Доказательство очевидно.

   Замечание 1. Чтобы различать случаи расположения трех плоскостей, если смешанное

произведение их нормальных векторов равно нулю, необходимо исследовать

эти плоскости попарно, выявлять, нет ли среди них совпадающих или

параллельных. Если совпадающих или параллельных плоскостей нет, то имеет место либо случай 6, либо случай 7 из рассмотренных выше. Но в случае 6, система (8) имеет решения, а в случае 7 – нет.

   Замечание 2. Если среди трех плоскостей есть хотя бы одна пара пересекающихся плоскостей, например,  – плоскости  и  пересекаются по прямой L, то исследование взаимного расположения трех плоскостей можно свести к исследованию расположения прямой L и плоскости , правда для этого нужно записать уравнение прямой L не в виде пересечения двух плоскостей:

                      ,

а в каноническом или параметрическом виде.

Задача. Найти канонические уравнения прямой, заданной в виде пересечения двух плоскостей:

                      .                       (9)

   Решение. Пусть  и  – нормальные векторы плоскостей в системе (9). Так как прямая перпендикулярная плоскости перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, то оба нормальных вектора перпендикулярны прямой пересечения L и их векторное произведение будет вектором коллинерным этой прямой.

        

                                          рис.14.

Таким образом, вычисляя векторное произведение нормальных векторов плоскости (неважно в каком порядке), мы находим направляющий вектор прямой L:

                            .

Для написания канонических уравнений прямой необходимо знать координаты какой-нибудь точки лежащей на прямой L. С этой целью, найдем какое-нибудь решение  системы (9). Т.к. любое решение системы (9) есть координаты точки лежащей на прямой L, то тем самым мы находим точку на прямой L.

Теперь осталось написать канонические уравнения прямой L:

                          .