п.3. Взаимное расположение двух плоскостей.

   Плоскости могут совпадать, быть параллельными или пересекаться по прямой.

                 

                                           рис.3.

          

                                                рис.4.

 

                                                рис.5.

Теорема. Пусть

 и

– общие уравнения двух плоскостей. Тогда:

1) если , то плоскости совпадают;

2) если , то плоскости параллельны;

3)  если  или , то плоскости пересекаются и система уравнений

                                                  (6)

является уравнениями прямой пересечения данных плоскостей.

   Доказательство. Первое и второе условия теоремы равносильны коллинеарности нормальных векторов данных плоскостей:

               .

   Если , то , , ,  и уравнение плоскости  принимает вид:

               

Коэффициент пропорциональности k не может быть равен нулю, т.к.  и при  получаем, что , что противоречит определению нормального вектора. Следовательно, уравнение плоскости

                

совпадает с уравнением плоскости , а это означает, что плоскости совпадают.

   Если , то это означает коллинеарность нормальных векторов обеих плоскостей, а значит плоскости либо параллельны, либо совпадают. Но в этом случае плоскости не могут совпадать и остается единственная возможность их параллельности.

   Третье условие теоремы равносильно тому, что нормальные векторы плоскостей не коллинеарные, а потому они не совпадают и не параллельны, а следовательно, они пересекаются. Из геометрии известно, что линия пересечения двух плоскостей является прямой.

   Точка М лежит на прямой пересечения двух плоскостей  и  тогда и только тогда, когда она лежит одновременно на обеих плоскостях и ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям системы (6), т.е. являются решением этой системы. А это означает, что система (6) является уравнениями прямой пересечения плоскостей, ч.т.д.

Теорема доказана.

п.4. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

   Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

 

                                           рис.6.

    

                                           рис.7.

       

                                          рис.8.

Теорема. Пусть плоскость  задана общим уравнением

                          ,

а прямая L задана каноническими уравнениями

                         

или параметрическими уравнениями

                              ,   ,

в которых  – координаты нормального вектора плоскости ,  – координаты произвольной фиксированной точки прямой L,   –

координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если , то прямая L пересекает плоскость  в точке, координаты которой  можно найти из системы уравнений

             ;           (7)

2) если  и , то прямая лежит на плоскости;

3) если  и , то прямая параллельна плоскости.

   Доказательство. Условие  говорит о том, что вектроры  и  не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальные уравнения системы, находим координаты искомой точки.

   Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости и координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка  – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

   Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

Теорема доказана.