п.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

   Этот вопрос уже обсуждался в предыдущей лекции, когда оба уравнения данных прямых записывались в каноническом или параметрическом виде. Пусть сейчас оба уравнения прямых записаны в общем виде.

Теорема. Пусть

    и

– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда

1) если , то прямые  и  совпадают;

2) если , то прямые   и

    параллельные;

3) если , то прямые пересекаются.

   Доказательство. Условие  равносильно коллинеарности нормальных векторов данных прямых:

. Поэтому, если , то  и прямые пересекаются.

   Если же , то , ,  и уравнение прямой  принимает вид:

 или , т.е. прямые совпадают. Заметим, что коэффициент пропорциональности , иначе все коэффициенты общего уравнения были бы равны нулю, что невозможно.

   Если же прямые не совпадают и не пересекаются, то остается случай , т.е. прямые параллельны.

Теорема доказана.

   Заметим, что если прямые пересекаются, то для нахождения координат их точки пересечения достаточно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

                            .                               (4)

Следствие. Пусть  – определитель системы (4). Если , то прямые пересекаются в одной точке и система (4) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

                                  ,                                (5)

где , .

Если , то прямые или параллельны и тогда система (4) не имеет решений, или прямые совпадают и тогда система (4) имеет бесконечно много решений.

   Доказательство. По определению определителя второго порядка

                      .

Если , то  и , т.е. прямые пересекаются и координаты точки пересечения можно найти по формулам Крамера (5).

Если же , то  и , т.е. либо прямые параллельны и тогда система не может иметь ни одного решения, либо прямые совпадают и тогда система (4) состоит из одного уравнения и решениями такой системы являются координаты любой точки, лежащей на прямой, а их бесконечно много.

следствие доказано.

Пример. Выяснить взаимное расположение двух прямых

                и

 и если они пересекаются, найти их точку пересечения.

Решение. Решим систему

                                     .

Определитель системы

                         ,

следовательно прямые пересекаются. Вычисляем координаты точки пересечения:

, ,

, .

Ответ. Прямые пересекаются в точке .