Уравнения плоскости и прямой на плоскости

п.1. Векторное уравнение плоскости и прямой на плоскости.

Определение. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости (прямой на плоскости) называется нормальным вектором этой плоскости (прямой на плоскости).

Теорема. Пусть  – радиус-вектор текущей точки М плоскости (прямой на плоскости),  – радиус- вектор какой-нибудь фиксированной точки  плоскости (прямой на плоскости),  – нормальный вектор плоскости (прямой на плоскости). Тогда уравнение

                                                                        (1)

является векторным уравнением плоскости (прямой на плоскости).

Доказательство. Изобразим на рисунке прямую L, ее нормальный вектор  и радиус-векторы  и .

           

                                             рис.1.

По правилу треугольника сложения векторов имеем:

 и точка , откуда и следует доказываемое уравнение (1).

Доказательство для случая плоскости точно такое же, см. рис.2:

                                           рис.2.

Теорема доказана.

п.2. Общее уравнение плоскости и прямой на плоскости.

Теорема. Для любой прямой на координатной плоскости Оху ее уравнение имеет вид

                              ,                                      (2)

где ,  – нормальный вектор прямой. Обратно, для любых , где А и В одновременно не равны нулю, уравнение (2) является уравнением прямой, лежащей на координатной плоскости Оху.

   Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая на координатной плоскости Оху и пусть точка  ее произвольная фиксированная точка, М(х, у) – ее текущая точка,  – ее произвольный нормальный вектор. Тогда уравнение (1) является векторным уравнением этой прямой, где  , .

   Расписывая скалярное произведение в координатной форме, получаем . Раскрывая скобки и группируя, получаем

                     .

Обозначая через , получаем отсюда равенство (2), которое и будет уравнением данной прямой.

2) Пусть дано уравнение

                                    ,                                (2)

где А, В и С – произвольные действительные числа и пара (А, В) – не нулевая. Пусть для определенности . Тогда , откуда мы видим, что любая пара , где  является решением уравнения (2) и, следовательно, это уравнение имеет бесконечное множество решений.

   Пусть  и  – два различных произвольных фиксированных решений уравнения (2),  и (х, у) произвольное его решение т.е.

   , , .

                                                                     (3)

 и подставляя в оставшиеся два равенства, получаем:

 и .      (4)

На координатной плоскости Оху каждому решению уравнения (2) соответствует точка. Пусть,

, М(х, у) – точки, соответствующие выбранным решениям. Тогда равенства (4) в векторной форме имеют вид

                        , ,                          (5)

т.е.  и , откуда следует, что

                                ,                                     (6)

что, в свою очередь, означает, что для любой точки М, координаты которой удовлетворяют уравнению (2), точки М,  и  лежат на одной прямой L, проходящей через фиксированные точки  и .

   С другой стороны, если точка М(х, у) лежит на этой прямой L, то верно (6), (5) и (4). Подставляя (3) во второе из равенств (4), получаем (2).

   Таким образом, уравнению (2) удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые лежат на прямой, ч.т.д.

Теорема доказана.

Определение. Уравнение прямой вида

                      

называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку  и с заданным нормальным вектором .

Теорема. Уравнение любой плоскости в координатном пространстве Охуz имеет вид

                              ,                              (7)

где ,  – нормальный вектор плоскости. Обратно, пусть – произвольные действительные числа, причем числа А, В и С одновременно не равны нулю. Тогда уравнение (7)

является уравнением плоскости в координатном пространстве Охуz.

   Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы, хотя и технически немножко сложнее. Первая часть доказательства практически такая же, а во второй части нужно брать три фиксированных решения (соответственно три точки пространства) и одно произвольное уравнения (7) и доказать, что любое решение уравнения (7), отождествленное с точкой пространства, лежит в той же плоскости, которая проходит через выбранные три точки и, что любая точка пространства лежащая на этой плоскости удовлетворяет уравнению (7).

Определение. Уравнение  называется общим уравнением прямой на координатной плоскости Оху. Уравнение  называется общим уравнением плоскости. Действительные числа А, В, С, D называются коэффициентами соответствующих уравнений.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru google.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!

Яндекс.Метрика