п.2. Уравнение связки плоскостей.

Определение. Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, имеющих одну общую точку, которая называется центром связки.

Теорема. Пусть , ,

– три плоскости в ПДСК Охуz, имеющие единственную общую точку . Тогда уравнение ,                                             (7)

где  – произвольные действительные числа одновременно не равные нулю, есть уравнение связки плоскостей с центром связки в точке .

   Доказательство практически один к одному повторяет доказательство предыдущей теоремы об уравнении пучка прямых.

Пример. Найти уравнение связки плоскостей с центром связки в точке .

Решение. Очевидно, что следующие три плоскости пересекаются в единственной точке :

       , , .

Тогда уравнение

                   ,                 (8)

где  и одновременно не равны нулю, есть искомое уравнение.

   В частности, если , то уравнение

                                                                   (9)

 есть уравнение связки плоскостей с центром связки в начале координат.

п.3. Уравнение пучка плоскостей.

Определение. Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей пересекающихся по одной и той же прямой, называемой осью пучка.

                                      рис.3.

Теорема. Пусть

 и

– две плоскости, пересекающиеся по прямой L. Тогда уравнение

,    (10)

где  – произвольные действительные числа одновременно не равные нулю, есть уравнение пучка плоскостей с осью пучка L.

   Доказательство аналогично доказательству теоремы об уравнении пучка прямых и предоставляется читателю.

Пример. Найти уравнение пучка плоскостей, осью которого является ось абсцисс.

Решение. Очевидно, что координатные плоскости

 и  пересекаются по оси Ох.

        

                                              рис.4.

 Тогда уравнение (10) в данном случае принимает вид

. Заменив греческие буквы на латинские, получаем

                                    ,                                    (11)

где  – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю. Уравнение (11) есть искомое уравнение пучка плоскостей с осью пучка Ох.

   Аналогично, уравнение

                                    ,                                    (12)

есть уравнение пучка плоскостей с осью пучка Оу, а уравнение

                                                                         (13)

есть уравнение пучка плоскостей с осью пучка Оz.