п.1. Уравнение пучка прямых на плоскости.

Определение. Пучком прямых на плоскости называется множество всех прямых данной плоскости, имеющих одну общую точку, которая называется центром пучка.

                                             рис.1.

На рис.1 точка  – центр пучка.

Теорема. Пусть

 и

– две прямые в координатной плоскости Оху, пересекающиеся в точке . Тогда уравнение

     ,                    (1)

где  – произвольные действительные числа одновременно не равные нулю, есть уравнение пучка прямых с центром пучка в точке .

   Доказательство.

                                                 рис.2.

   Пусть L – призвольная прямая этого пучка с центром пучка в точке  и  – ее нормальный вектор. Тогда векторное уравнение прямой L имеет вид:

                                       ,                                (2)

где  – радиус-вектор точки ,  – текущий радиус-вектор, т.е. радиус-вектор текущей точки .

   Так как прямые  и  по условию теоремы пересекаются, то их нормальные векторы не коллинеарные и, следовательно, образуют базис.

   Тогда вектор  может быть разложен по этому базису:

                                ,

где  – кэффициенты этого разложения одновременно не равные нулю, т.к. по определению нормальный вектор . Подставляя в (2) получаем  или

                     .                        (3)

Но  и  – векторные уравнения прямых  и , т.е. ,

.

Подставляя в (3), получаем равенство (1).

   Таким образом, мы доказали, что уравнение любой прямой из данного пучка имеет вид (1).

   Обратно, докажем, что при любых , одновременно не равных нулю, уравнение (1) есть уравнение некоторой прямой из данного пучка.

   Действительно, с одной стороны, при любых ,  одновременно не равных нулю, уравнение (1) есть общее уравнение прямой

        .

С другой стороны, пусть в уравнении (1)  – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю, и пусть  – координаты центра пучка. Так как  и , то координаты центра пучка удовлетворяют уравнениям прямых  и :

         и .

Тогда, подставляя координаты точки  в уравнение (1), получаем

, т.е. уравнение (1) есть уравнение прямой, проходящей через точку , а значит прямая принадлежит данному пучку, ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. Если в (1) , то уравнение (1) есть уравнение прямой . Если , то уравнение (1) есть уравнение прямой . Поэтому, если уравнение (1) рахделить на , то получим уравнение любой прямой из данного пучка, кроме прямой :

                 .             (4)

Пример. Написать уравнение произвольной прямой, проходящей через заданную точку .

Решение. Искомая прямая есть прямая пучка прямых с центром пучка в точке . Очевидно, следующие две прямые принадлежат этому пучку:

                           и

Или , . Тогда уравнение любой прямой этого пучка имеет вид

                           .

Если заменить в этом уравнении греческие буквы на латинские, получаем

                                                      (5)

– уравнение прямой, проходящей через заданную точку . В частности, при , получаем уравнение пучка прямых с центром пучка в начале координат: .

   Разделив уравнение (5) на , получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку :

                            ,                                    (6)

а при , получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через начало координат:

                                          .

   Другими словами, уравнение , где , есть уравнение пучка прямых с центром пучка в начале координат.