Уравнение прямой с угловым коэффициентом
п.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Пусть дана прямая L на координатной плоскости Оху.
Определение. Углом наклона прямой к оси абсцисс называется угол поворота оси абсцисс вокруг любой ее точки против часовой стрелки до положения параллельности (или совпадения) с данной прямой.
Из определения следует, что угол наклона прямой L к оси Ох может изменяться от нуля до
:
. Если прямая
, то
.
Пусть
(1)
– общее уравнение прямой L, где – нормальный вектор прямой L и
. Тогда
и
(см. рис.1). Выразим у из уравнения (1)
.
,
.
Уравнение прямой L принимает вид:
.
Определение. Уравнение прямой вида
(2)
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k называется угловым коэффициентом данной прямой.
Теорема. В уравнении прямой с угловым коэффициентом
угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс:
. (3)
Доказательство. 1) Если прямая , то
и
. С другой стороны, ее нормальный вектор
и
.
Тогда и, следовательно,
, ч.т.д.
2) Пусть , тогда
,
и
. Пусть F – точка пересечения прямой L с осью абсцисс. Тогда
,
.
Опишем окружность единичного радиуса с центром в точке F , а в точке оси Ох с координатой проведем касательную m к этой окружности. См. рис.2.
рис.2.
Выберем положительное направление на прямой m, так, чтобы . Тогда ось m является осью тангенсов для данной единичной (тригонометрической) окружности.
Пусть Р – точка пересечения прямой L с осью тангенсов m. Тогда, с одной стороны, , где
– угол наклона прямой L к оси Ох, а, с другой стороны, точка
и
, откуда и следует равенство
, ч.т.д.
Теорема доказана.
Заметим, что приведенное доказательство принадлежит автору этих лекций. Достоинством этого доказательства является то, что оно не зависит ни от величины угла наклона , ни от величины коэффициента
.
В заключение отметим, что коэффициент b в уравнении (2) равен величине отрезка, отсекаемого прямой от оси ординат (см. рис.2).
Оставьте комментарий!