п.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть дана прямая L на координатной плоскости Оху.

Определение. Углом наклона прямой к оси абсцисс называется угол поворота оси абсцисс вокруг любой ее точки против часовой стрелки до положения параллельности (или совпадения) с данной прямой.

 

                                              рис.1.

Из определения следует, что угол наклона  прямой L к оси Ох может изменяться от нуля до : . Если прямая , то .

   Пусть

                                                                     (1)

– общее уравнение прямой L, где  – нормальный вектор прямой L и . Тогда  и  (см. рис.1). Выразим у из уравнения (1)

                                    .

                                  , .

Уравнение прямой L принимает вид:

                                            .

Определение. Уравнение прямой вида

                                                                             (2)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k называется угловым коэффициентом данной прямой.

Теорема. В уравнении прямой с угловым коэффициентом

                                           

угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс:

                                               .                                (3)

   Доказательство. 1) Если прямая , то  и . С другой стороны, ее нормальный вектор  и .

   Тогда  и, следовательно, , ч.т.д.

2) Пусть , тогда ,  и . Пусть F – точка пересечения прямой L с осью абсцисс. Тогда

                                    , .

Опишем окружность единичного радиуса с центром в точке F , а в точке оси Ох с координатой  проведем касательную m к этой окружности. См. рис.2.

                                                рис.2.

Выберем положительное направление на прямой m, так, чтобы . Тогда ось m является осью тангенсов для данной единичной (тригонометрической) окружности.

   Пусть Р – точка пересечения прямой L с осью тангенсов m. Тогда, с одной стороны, , где  – угол наклона прямой L к оси Ох, а, с другой стороны, точка  и , откуда и следует равенство , ч.т.д.

Теорема доказана.

   Заметим, что приведенное доказательство принадлежит автору этих лекций. Достоинством этого доказательства является то, что оно не зависит ни от величины угла наклона , ни от величины коэффициента .

   В заключение отметим, что коэффициент b в уравнении (2) равен величине отрезка, отсекаемого прямой от оси ординат (см. рис.2).