п.5. Уравнение плоскости в отрезках. Неполные уравнения плоскости.

Исследование общего уравнения плоскости

                              ,                              (7)

где  – координаты ее нормального вектора, производится аналогично исследованию общего уравнения прямой на плоскости. Приведем ниже все случаи.

   Если , то уравнение (7) может быть записано в виде уравнения плоскости в отрезках:

                                                                       (10)

– плоскость, отсекающая от осей координат отрезки величиной а, b  и с соответственно, где обозначено

                        .

                 

                                          рис.6.

Определение. Уравнение

                             

называется неполным уравнением плоскости, если хотя бы один из его коэффициентов А, В, С, D равен нулю.

   Если , то уравнение (7) имеет вид

                                      .                            (11)

В координатной плоскости Оуz это уравнение есть уравнение прямой, а  так как , то данная плоскость параллельна оси Ох. Уравнение (11) может быть записано в виде

                                                                             (12)

или  – уравнение плоскости параллельной координатной плоскости Охz и отсекающей от оси Оу отрезок величины b,

или  – уравнение плоскости параллельной координатной плоскости Оху и отсекающей от оси Оz отрезок величины с.

             

                                              рис.7.

                

                                        рис.8.

                       

                                              рис.9.

   Если , то уравнение (6) имеет вид

                                .                                        (13)

Это уравнение прямой в координатной плоскости Оуz, проходящая через начало координат и в то же время уравнение плоскости, содержащей ось Ох.

               

                                        рис.10.

Если в уравнении (13) , то получаем

                                         

– уравнение координатной плоскости Оху.

Если в уравнении (13) , то получаем

                                         

– уравнение координатной плоскости Охz.

   Ситуации, когда  или  исследуются аналогично.

Подведем итог исследованию общего уравнения плоскости

                              .                              (7)

1) Если , то можно уравнение (7) записать в виде уравнения в отрезках

                                  ,

где а, b, с – величины отсекаемых плоскостью от координатных осей отрезков.

2) Если , но один из коэффициентов А, В, С равен нулю, то получаем уравнение плоскости в виде

          или  или

– плоскость параллельная оси Оz или Оу или Ох соответственно.

3) Если , но два из коэффициентов А, В, С равны нулю, то получаем уравнение плоскости в виде

                   или  или

– соответственно плоскость параллельна координатной плоскости Оуz или Охz или Оху.

4) Если , то уравнение (7) принимает вид

                                  

– плоскость содержит начало координат.

5) Если  и один из коэффициентов А, В, С равен нулю, то получаем уравнение плоскости в виде

         или  или

– плоскость содержит соответственно ось Ох или ось Оу или ось Оz.

6) Если  и два из коэффициентов А, В, С равны нулю, то получаем уравнение плоскости в виде  или  или  – уравнение соответственно координатных плоскостей Оуz или Охz или Оху.

п.6. Нормированное уравнение плоскости и прямой на плоскости.

   Пусть

                                                                        (1)

– векторное уравнение плоскости или прямой на плоскости, где  – нормальный вектор плоскости (прямой),  – радиус-вектор фиксированной точки плоскости (прямой),  – радиус-вектор текущей точки плоскости (прямой).

   Заметим, что в уравнении (1) длина нормального вектора не играет никакой роли. Выберем в уравнении (1) в качестве нормального вектора  нормальный вектор единичной длины , а направление нормального вектора выберем такое, чтобы угол между вектором  и  был острый. Смотри следующие рисунки.

   

                                             рис.11.

               

                                              рис.12.

   Иначе, направление вектора  должно быть от начала координат к плоскости (прямой). Раскроем в уравнении (1) скобки

                                         

и разделим обе части уравнения на , если скалярное произведение  или на , если . Получим

                                     ,                           (14)

где .

Обозначим  и пусть , . Так как координатами единичного вектора являются его направляющие косинусы, то . Подставляя в (14), получаем

                  .

Определение. Уравнение вида

                       ,                     (15)

где ,  – направляющие косинусы нормального вектора плоскости, называется нормированным (нормальным) уравнением плоскости.

   В случае прямой на координатной плоскости Оху имеем: , ,  и

                           .

Определение. Уравнение вида

                         ,                                (16)

где ,  – направляющие косинусы нормального вектора прямой, называется нормированным (нормальным) уравнением прямой на координатной плоскости Оху.

   Заметим, что в уравнениях (15) и (16) свободный коэффициент (– р) отрицательный, р численно равно расстоянию от начала координат до плоскости (прямой):

             .

В этом заключается геометрический смысл свободного члена р в этих уравнениях.

Пример. Записать нормированное уравнение плоскости, если его общее уравнение имеет вид:

                      

и найти расстояние от начала координат до плоскости.

   Решение. Имеем, , .

Так как свободный коэффициент этого уравнения равен положительному числу 26, то для получения нормированного уравнения плоскости разделим обе части общего уравнения на число, противоположное модулю нормального вектора:

                         .

Ответ:  – нормированное уравнение плоскости. Расстояние от начала координат до плоскости равно 2.

   Аналогично приводится к нормальному виду общее уравнение прямой.