Уравнение плоскости в отрезках. Неполные уравнения плоскости.
п.5. Уравнение плоскости в отрезках. Неполные уравнения плоскости.
Исследование общего уравнения плоскости
, (7)
где – координаты ее нормального вектора, производится аналогично исследованию общего уравнения прямой на плоскости. Приведем ниже все случаи.
Если , то уравнение (7) может быть записано в виде уравнения плоскости в отрезках:
(10)
– плоскость, отсекающая от осей координат отрезки величиной а, b и с соответственно, где обозначено
.
рис.6.
Определение. Уравнение
называется неполным уравнением плоскости, если хотя бы один из его коэффициентов А, В, С, D равен нулю.
Если , то уравнение (7) имеет вид
. (11)
В координатной плоскости Оуz это уравнение есть уравнение прямой, а так как , то данная плоскость параллельна оси Ох. Уравнение (11) может быть записано в виде
(12)
или – уравнение плоскости параллельной координатной плоскости Охz и отсекающей от оси Оу отрезок величины b,
или – уравнение плоскости параллельной координатной плоскости Оху и отсекающей от оси Оz отрезок величины с.
рис.7.
рис.8.
рис.9.
Если , то уравнение (6) имеет вид
. (13)
Это уравнение прямой в координатной плоскости Оуz, проходящая через начало координат и в то же время уравнение плоскости, содержащей ось Ох.
рис.10.
Если в уравнении (13) , то получаем
– уравнение координатной плоскости Оху.
Если в уравнении (13) , то получаем
– уравнение координатной плоскости Охz.
Ситуации, когда или
исследуются аналогично.
Подведем итог исследованию общего уравнения плоскости
. (7)
1) Если , то можно уравнение (7) записать в виде уравнения в отрезках
,
где а, b, с – величины отсекаемых плоскостью от координатных осей отрезков.
2) Если , но один из коэффициентов А, В, С равен нулю, то получаем уравнение плоскости в виде
или
или
– плоскость параллельная оси Оz или Оу или Ох соответственно.
3) Если , но два из коэффициентов А, В, С равны нулю, то получаем уравнение плоскости в виде
или
или
– соответственно плоскость параллельна координатной плоскости Оуz или Охz или Оху.
4) Если , то уравнение (7) принимает вид
– плоскость содержит начало координат.
5) Если и один из коэффициентов А, В, С равен нулю, то получаем уравнение плоскости в виде
или
или
– плоскость содержит соответственно ось Ох или ось Оу или ось Оz.
6) Если и два из коэффициентов А, В, С равны нулю, то получаем уравнение плоскости в виде
или
или
– уравнение соответственно координатных плоскостей Оуz или Охz или Оху.
п.6. Нормированное уравнение плоскости и прямой на плоскости.
Пусть
(1)
– векторное уравнение плоскости или прямой на плоскости, где – нормальный вектор плоскости (прямой),
– радиус-вектор фиксированной точки плоскости (прямой),
– радиус-вектор текущей точки плоскости (прямой).
Заметим, что в уравнении (1) длина нормального вектора не играет никакой роли. Выберем в уравнении (1) в качестве нормального вектора нормальный вектор единичной длины
, а направление нормального вектора выберем такое, чтобы угол между вектором
и
был острый. Смотри следующие рисунки.
рис.11.
рис.12.
Иначе, направление вектора должно быть от начала координат к плоскости (прямой). Раскроем в уравнении (1) скобки
и разделим обе части уравнения на , если скалярное произведение
или на
, если
. Получим
, (14)
где .
Обозначим и пусть
,
. Так как координатами единичного вектора являются его направляющие косинусы, то
. Подставляя в (14), получаем
.
Определение. Уравнение вида
, (15)
где ,
– направляющие косинусы нормального вектора плоскости, называется нормированным (нормальным) уравнением плоскости.
В случае прямой на координатной плоскости Оху имеем: ,
,
и
.
Определение. Уравнение вида
, (16)
где ,
– направляющие косинусы нормального вектора прямой, называется нормированным (нормальным) уравнением прямой на координатной плоскости Оху.
Заметим, что в уравнениях (15) и (16) свободный коэффициент (– р) отрицательный, р численно равно расстоянию от начала координат до плоскости (прямой):
.
В этом заключается геометрический смысл свободного члена р в этих уравнениях.
Пример. Записать нормированное уравнение плоскости, если его общее уравнение имеет вид:
и найти расстояние от начала координат до плоскости.
Решение. Имеем, ,
.
Так как свободный коэффициент этого уравнения равен положительному числу 26, то для получения нормированного уравнения плоскости разделим обе части общего уравнения на число, противоположное модулю нормального вектора:
.
Ответ: – нормированное уравнение плоскости. Расстояние от начала координат до плоскости равно 2.
Аналогично приводится к нормальному виду общее уравнение прямой.
Оставьте комментарий!