Уравнение линии и поверхности 2

Опубликовано: 13 июня 2009.

   Второй подход при изучении линий и поверхностей заключается в том, что изначально мы имеем некоторую линию или поверхность, которая задаются каким либо своим геометрическим свойством. Очень часто линия или поверхность определяется как множество точек координатной плоскости или координатного пространства, удовлетворяющих каким-либо условиям. Такое множество точек называется геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ). Задача заключается в том, чтобы описать это ГМТ с помощью уравнения или системы уравнений с параметром или без такового.

Пример. Найти уравнение ГМТ координатной плоскости Оху, равноудаленных от начала координат на расстоянии, равном R.

Решение. Из геометрии нам известно, что такое ГМТ образует окружность радиуса R с центром в начале координат. Наша задача найти уравнение окружности, используя ее определяющее свойство – равноудаленность всех ее точек от центра.

   Пусть М(х, у) – произвольная точка этого ГМТ. Тогда . С другой стороны, длина отрезка ОМ может быть найдена по формуле . Отсюда,

 или

                                    .                                  (6)

   Таким образом, координаты любой точки окружности удовлетворяют уравнению (6). С другой стороны, если точка М(х, у) не принадлежит окружности, то длина отрезка ОМ не равна R и ее координаты не удовлетворяют уравнению (6). Следовательно, уравнению (6) удовлетворяют координаты только тех точек, которые лежат на окружности и только они. Поэтому уравнение (6) является уравнением указанной окружности.

Ответ: .

Аналогично можно найти уравнение сферы:

                                .

Замечание. Из последних двух примеров следует, что окружность является алгебраической кривой 2-го порядка, а сфера является алгебраической поверхностью 2-го порядка.

Пример. Найти уравнение ГМТ плоскости, равноудаленных от координатных осей.

Решение. Очевидно, таким уравнением будет уравнение

 или совокупность двух уравнений прямых:

                                     .

Пример. Найти уравнение траектории точки окружности радиуса R, катящейся по прямой (без скольжения и пробуксовки). Такая линия называется циклоидой.

Ответ: (без доказательства).

                            ,

параметрические уравнения циклоиды (трансцендентные);

                         

– уравнение циклоиды (трансцендентное).

   Таким образом, мы видим, что циклоида является примером трансцендентной кривой.

Замечание. Циклоидой будет траектория жвачки, если вы ее налепите на колесо вашего автомобиля, а потом поедете по прямой дороге (разумеется не в гололед и по хорошей дороге, например, по автобану).

Определение. Плоской кривой называется кривая, лежащая в одной плоскости.

   Окружность, парабола, циклоида являются примерами плоских кривых. Винтовая линия предоставляет нам пример не плоской кривой.

   Уже из приведенных здесь примеров мы видим, что одна и та же кривая может быть описана различными уравнениями. Одна из задач геометрии заключается в том, чтобы параметризовать известную кривую, т.е. найти параметрические уравнения кривой, удобные для дальнейшей работы с этой кривой. Далеко не всякая параметризация бывает удобной. Например, если кривая на плоскости Оху описывается уравнением , то тривиальной ее параметризацией является следующая:

, , где D – область изменения аргумента х.

   В дальнейшем, мы очень подробно рассмотрим все виды уравнений прямой на координатной плоскости, уравнения плоскостей и прямых в пространстве. Далее в наших планах изучение алгебраических кривых и поверхностей второго порядка, т.е. кривых и поверхностей, которые описываются алгебраическими уравнениями второй степени, соответственно, с двумя или тремя неизвестными.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru google.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!

Яндекс.Метрика