п.1. Понятие об уравнении линии и поверхности.

   С теоретико-множественной точки зрения, любая линия или поверхность есть множество точек. Каждое такое множество может обладать некоторыми свойствами. Математики с древних времен пытались отыскать такие свойства, которые полностью определяли бы такие интуитивно понятные объекты как прямая, кривая, поверхность. Эта задача была окончательно решена лишь в двадцатом веке, когда было введено понятие размерности множества. Популярно об этом можно прочитать в замечательной книжке Виленкина Н.Я. "Рассказы о множествах."

   Мы же ограничимся интуитивным пониманием линии и поверхности, причем мы полагаем, что и линия и поверхность состоят из точек пространства точек , т.е. являются его подмножествами.

   Пусть в пространстве введена ПДСК Охуz и пусть дана некоторая числовая функция трех действительных аргументов . Каждая точка М пространства имеет три координаты: . Если подставить координаты точки М в данную числовую функцию, то мы получаем некоторое числовое значение этой функции.

Определение. Пусть W некоторое подмножество множества точек координатного пространства Охуz. Уравнение

                                                                         (1)

называется уравнением множества W, если координаты каждой точки множества W удовлетворяет уравнению (1) и, наоборот, каждое решение уравнения (1) определяет координаты точки, лежащей именно в множестве W, т.е.

        .              (2)

Часто бывает, что одного уравнения (1) не хватает для того чтобы описать данное множество точек (линию или поверхность) и тогда уравнениями данного множества точек называют систему таких уравнений:

.                  (3)

   В аналитической геометрии существует два подхода при изучении линий и поверхностей. Первый подход заключается в том, что изначально имеется уравнение или система уравнений и изучается множество их решений, причем каждое решение  рассматривается как координаты точки.

   Образует ли какую-нибудь геометрическую форму такое множество решений? Может это какая-нибудь линия или поверхность?

   Чтобы предметно и конкретно обсуждать этот вопрос нам понадобятся несколько определений.

Определение. Пусть  – многочлен от трех переменных n-й степени. Тогда уравнение  называется алгебраическим уравнением n-й степени с тремя неизвестными. Если это уравнение является уравнением кривой (поверхности), то такая кривая (поверхность) называется алгебраической кривой (поверхностью) n-го порядка.

Пример. Уравнение

                                            

 – алгебраическое уравнение первой степени с одним неизвестным. Однако, мы можем рассматривать это уравнение как уравнение с тремя неизвестными х, у и z. Тогда множество всех решений этого уравнения есть множество

                      .

   Рассматривая это множество Р как множество точек в координатном пространстве Охуz, мы находим, что данному уравнению удовлетворяют координаты всех точек плоскости, параллельной координатной плоскости Оуz, отстоящей от нее на расстоянии 2 и проходящей через точку (2, 0, 0) и только они. Следовательно, данное уравнение  является уравнением плоскости и эта плоскость является алгебраической поверхностью первого порядка.

   Мы можем рассматривать данное уравнение как уравнение с двумя неизвестными х и у. Тогда множество всех решений этого уравнения есть множество

                              .

   Рассматривая это множество L  как множество точек на координатной плоскости Оху, мы находим, что данному уравнению удовлетворяют все точки прямой линии, параллельной координатной оси Оу, отстоящей от нее на расстоянии 2 и проходящая через точку (2, 0) и только они. Следовательно, данное уравнение является уравнением прямой, лежащей на координатной плоскости Оху и эта прямая является алгебраической линией первого порядка.

Определение. Уравнение, содержащее трансцендентные функции (тригонометрические, показательные, логарифмические), называется трансцендентными.

Пример. Рассмотрим систему уравнений

                              ,                            (4)

   Будем рассматривать множество решений (х, у) этой системы как координаты точек на координатной плоскости Оху. Нетрудно доказать, что множество решений (х, у) системы (4) совпадает на координатной плоскости Оху с окружностью радиуса R с центром в начале координат. Т.е. для любого , пара чисел (х, у) определяет координаты точки, лежащей на указанной окружности и наоборот, взяв координаты любой точки, лежащей на этой окружности и подставив их в уравнения (4), получим два верных числовых равенства для некоторого числа . Это означает, что система (4) является уравнением окружности.

Определение. Система уравнений вида

                                 ,                             (5),

где  – некоторые числовые функции от одной переменной t, называется параметрическими уравнениями кривой (линии) L, а переменная t называется параметром, если система (5) устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми точками  и всеми значениями параметра .

   Так система уравнений (4) называется параметрическим уравнениями окружности. Следующая система уравнений называется параметрическими уравнениями винтовой линии:

                                 , .