Умножение вектора на число
п.9. Умножение вектора на число.
Определение. Произведением вектора на действительное число
называется вектор
, удовлетворяющий следующим двум условиям:
1) ;
2) , если
и
, если
;
Теорема. (Свойства умножения вектора на число.)
1. Свойство ассоциативности: верно
2. Свойство дистрибутивности умножения относительно
сложения чисел: верно равенство
.
3. Свойство дистрибутивности умножения относительно
сложения векторов: верно равенство
.
4. верно равенство
.
Доказательство. Свойство 4 вытекает из определения умножения вектора на число. Докажем свойство 1.
Умножение вектора на число
можно интерпретировать как гомотетию
какой-нибудь плоскости Р, в которой лежит данный вектор, с центром гомотетии в начале вектора и коэффициентом
.
Такая гомотетия плоскости Р оставляет точку А на месте, , а конец вектора – точку В переводит (отображает) в точку С,
, причем
и точка С лежит на луче АВ, если и на
противоположном луче, если . См. рис. 10 и 11.
А В С
рис. 10.
С А В
рис.11.
Теперь свойство 1 следует из того что композиция гомотетий (т.е. последовательное их выполнение) есть гомотетия, причем и
верно равенство:
.
Пусть .
D А В С
|
рис. 12.
Тогда ,
и
, т.е.
.
Таким образом, и
,
следовательно, , ч.т.д.
Доказательство свойства 2 оставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения. Заметим, что если оба числа и
имеют одинаковый знак, то свойство 2 очевидно. Осталось рассмотреть случай разных знаков чисел
и
.
И, наконец, свойство 3 очевидно из следующего
рисунка, построенного для случая :
рис. 13.
Заметим, что такая картинка возникает, если мы применим к плоскости, в которой лежат оба вектора, отложенные от одной точки О, преобразование гомотетии с центром гомотетии в точке О и коэффициентом .
Теорема доказана.
Теорема. Множество всех векторов как направленных отрезков в пространстве точек S является векторным пространством над полем действительных чисел.
Доказательство следует из свойств сложения векторов и их умножения на действительные числа.
Определение. Векторное пространство над полем действительных чисел называется вещественным векторным пространством.
Пусть L произвольная прямая в пространстве S. Тогда ясно, что , т.е. множество векторов коллинеарных прямой L является подмножеством всех векторов
.
Далее, сумма любых двух векторов коллинеарных прямой L также является вектором коллинеарным прямой L:
. В этом случае говорят, что множество векторов
замкнуто относительно сложения векторов. Аналогично,
, т.е. множество
замкнуто относительно операции умножения вектора на действительное число. Отсюда сразу же следует, что для векторов из множества
справедливы все свойства сложения и умножения на действительные числа, т.е. справедливы все аксиомы вещественного векторного пространства.
Таким образом, множество также является вещественным векторным пространством.
Говорят, что векторное пространство является векторным подпространством векторного пространства
.
Аналогично и для множества всех векторов лежащих на некоторой плоскости Р или на параллельной ей плоскости. Множества
также является векторным пространством и векторным подпространством векторного пространства
.
Если прямая L лежит в плоскости Р или параллельна ей, то и
– подпространство векторного пространства
и одновременно векторного пространства
.
Векторное пространство мы будем называть пространством векторов на прямой L, а
–пространством векторов на плоскости Р.
п.10. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.
Определение. Пусть и
два произвольных вектора. Если верно равенство
, где
, то говорят, что вектор
линейно выражается через вектор
.
Теорема. (О коллинеарности двух векторов.)
Для того, чтобы два вектора были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы либо один из них был нулевым, либо один из них линейно выражался через другой.
Другими словами, .
Доказательство. Если , то
по определению. Пусть
и
. Тогда из определения умножения вектора на число следует, что либо
, либо
, в зависимости от знака числа
, т.е.
, ч.т.д.
Пусть теперь и
и
. (Если
или
, то доказывать нечего.) Рассмотрим два возможных случая.
а) Пусть . Т.к.
, то
.
Обозначим буквой отношение длин этих векторов:
. Отсюда следует равенство
и, применяя определение умножения вектора на число, получаем, что
.
б) Пусть . Положим по определению
. Отсюда следует равенство
и, применяя определение умножения вектора на число, получаем, что
.
Теорема доказана.
Оставьте комментарий!