п.9. Умножение вектора на число.

Определение. Произведением вектора  на действительное число  называется вектор , удовлетворяющий следующим двум условиям:

1) ;

2) , если  и , если ;

и обозначается .

Теорема. (Свойства умножения вектора на число.)

1. Свойство ассоциативности:  верно

    равенство .

2. Свойство дистрибутивности умножения относительно

   сложения чисел:  верно равенство

                           .

3. Свойство дистрибутивности умножения относительно

   сложения векторов:  верно равенство

                           .

4.  верно равенство .

Доказательство. Свойство 4 вытекает из определения умножения вектора на число. Докажем свойство 1.

   Умножение вектора  на число  можно интерпретировать как гомотетию какой-нибудь плоскости Р, в которой лежит данный вектор, с центром гомотетии в начале вектора и коэффициентом .

   Такая гомотетия плоскости Р оставляет точку А на месте, , а конец вектора – точку В переводит (отображает) в точку С, , причем

и точка С лежит на луче АВ, если  и на

противоположном луче, если . См. рис. 10 и 11.

                      А                  В                            С 

                 

                                      рис. 10.

                С                            А                      В

                                         

                                       рис.11.

Теперь свойство 1 следует из того что композиция гомотетий (т.е. последовательное их выполнение) есть гомотетия, причем  и  верно равенство: .

Пусть .

        D           А                  В                            С 

                     |

                                                       

                                      рис. 12.

Тогда ,  и , т.е. .

   Таким образом,  и ,

следовательно, , ч.т.д.

   Доказательство свойства 2 оставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения. Заметим, что если оба числа  и  имеют одинаковый знак, то свойство 2 очевидно. Осталось рассмотреть случай разных знаков чисел  и .

   И, наконец, свойство 3 очевидно из следующего

рисунка, построенного для случая :

                                      рис. 13.

Заметим, что такая картинка возникает, если мы применим к плоскости, в которой лежат оба вектора, отложенные от одной точки О, преобразование гомотетии с центром гомотетии в точке О и коэффициентом .

Теорема доказана.

Теорема. Множество всех векторов  как направленных отрезков в пространстве точек S является векторным пространством над полем действительных чисел.

   Доказательство следует из свойств сложения векторов и их умножения на действительные числа.

Определение. Векторное пространство над полем действительных чисел называется вещественным векторным пространством.

   Пусть L произвольная прямая в пространстве S. Тогда ясно, что , т.е. множество векторов коллинеарных прямой L является подмножеством всех векторов .

  Далее, сумма любых двух векторов коллинеарных прямой L также является вектором коллинеарным прямой L:

 . В этом случае говорят, что множество векторов  замкнуто относительно сложения векторов. Аналогично, , т.е. множество  замкнуто относительно операции умножения вектора на действительное число. Отсюда сразу же следует, что для векторов из множества  справедливы все свойства сложения и умножения на действительные числа, т.е. справедливы все аксиомы вещественного векторного пространства.

   Таким образом, множество  также является вещественным векторным пространством.

   Говорят, что векторное пространство  является векторным подпространством векторного пространства .

   Аналогично и для множества  всех векторов лежащих на некоторой плоскости Р или на параллельной ей плоскости. Множества  также является векторным пространством и векторным подпространством векторного пространства .

   Если прямая L лежит в плоскости Р или параллельна ей, то  и  – подпространство векторного пространства  и одновременно векторного пространства .

   Векторное пространство  мы будем называть пространством векторов на прямой L, а  –пространством векторов на плоскости Р.

п.10. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.

Определение. Пусть  и  два произвольных вектора. Если верно равенство , где , то говорят, что вектор  линейно выражается через вектор .

Теорема. (О коллинеарности двух векторов.)

Для того, чтобы два вектора были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы либо один из них был нулевым, либо один из них линейно выражался через другой.

   Другими словами, .

   Доказательство. Если , то  по определению. Пусть  и . Тогда из определения умножения вектора на число следует, что либо , либо , в зависимости от знака числа , т.е. , ч.т.д.

   Пусть теперь  и  и . (Если  или , то доказывать нечего.) Рассмотрим два возможных случая.

а) Пусть . Т.к. , то .

   Обозначим буквой  отношение длин этих векторов: . Отсюда следует равенство  и, применяя определение умножения вектора на число, получаем, что .

б) Пусть . Положим по определению . Отсюда следует равенство  и, применяя определение умножения вектора на число, получаем, что .

Теорема доказана.