Угол между векторами. Угол между вектором и осью. Проекция вектора на ось.
п.1. Угол между векторами. Угол между вектором и осью.
Определение. Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

рис.1.
Обозначение. . Из определения следует, что
.
Мы полагаем очевидным, что при параллельном переносе любого из двух векторов угол между ними остается неизменным, только в этом случае поворот одного из векторов осуществляется либо в общей для обоих векторов плоскости, либо в плоскости параллельной другому вектору.
Введем понятие угла между вектором и осью.
Определение. Углом между вектором и осью называется угол между данным вектором и любым правоориентированным вектором этой оси.
рис.2.
Обозначение. .
п.2. Проекция вектора на ось.
Пусть дан вектор и ось L. Через точки А и В проведем соответственно плоскости
и
перпендикулярные оси L и точки пересечения оси L с этими плоскостями обозначим соответственно через
и
. Тогда по определению, точка
является проекцией точки А на ось L, а точка
– проекция точки В на ось L.
рис.3.
Определение. Проекцией вектора на ось L называется число равное модулю вектора
, если он правоориентированный на оси L или противоположное ему число в противном случае. Здесь
– проекция точки А на ось L,
– проекция точки В на ось L.
. (1)
Теорема. (О вычислении проекции вектора на ось.)
Проекция вектора на ось не зависит от выбора точки его начала и может быть вычислена по формуле:
(2)
Доказательство.1) Рассмотрим сначала ситуацию, когда вектор отложен от точки А оси L. Здесь возможны два случая, когда угол
между данным вектором и данной осью является острым или тупым.
рис.4. рис.5.
В первом случае (рис.4) и по определению проекции вектора на ось
,
где последнее равенство следует из прямоугольного треугольника .
Во втором случае (рис.5) и тогда
, ч.т.д.
2) Пусть теперь вектор отложен от произвольной точки А пространства точек S. Найдем проекцию вектора
на ось L (см. рис.3). Далее, через точку
проведем прямую параллельно прямой АВ и обозначим через С точку её пересечения с плоскостью
. Смотри, далее, рисунок 6.
рис.6.
Рассмотрим четырехугольник . Сторона
по построению, стороны
, как линии пересечения параллельных плоскостей
и
плоскостью четырехугольника
. Таким образом, четырехугольник
– параллелограмм и
. А так как точка С лежит на плоскости
, то точка
– проекция точки С на ось L и, следовательно,
. Из равенства векторов
следует равенство их модулей и равенство углов между этими векторами и осью L, откуда, по уже доказанной в первой части этого доказательства формуле, получаем:
, ч.т.д. Теорема доказана.
Оставьте комментарий!