п.1. Угол между векторами. Угол между вектором и осью.

Определение. Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

                   

                                            рис.1.

Обозначение. . Из определения следует, что .

   Мы полагаем очевидным, что при параллельном переносе любого из двух векторов угол между ними остается неизменным, только в этом случае поворот одного из векторов осуществляется либо в общей для обоих векторов плоскости, либо в плоскости параллельной другому вектору.

   Введем понятие угла между вектором и осью.

Определение. Углом между вектором и осью называется угол между данным вектором и любым правоориентированным вектором этой оси.

                                      рис.2.

Обозначение. .

п.2. Проекция вектора на ось.

   Пусть дан вектор  и ось L. Через точки А и В проведем соответственно плоскости  и  перпендикулярные оси L и точки пересечения оси L с этими плоскостями обозначим соответственно через  и . Тогда по определению, точка  является проекцией точки А на ось L, а точка  – проекция точки В на ось L.

                                       рис.3.

Определение. Проекцией вектора  на ось L называется число равное модулю вектора  , если он правоориентированный на оси L или противоположное ему число в противном случае. Здесь  – проекция точки А на ось L,  – проекция точки В на ось L.

               .                 (1)

Теорема. (О вычислении проекции вектора на ось.)

Проекция вектора на ось не зависит от выбора точки его начала и может быть вычислена по формуле:

                                                        (2)

   Доказательство.1) Рассмотрим сначала ситуацию, когда вектор  отложен от точки А оси L. Здесь возможны два случая, когда угол  между данным вектором и данной осью является острым или тупым.

    

               рис.4.                                      рис.5.

   В первом случае (рис.4)  и по определению проекции вектора на ось

               ,

где последнее равенство следует из прямоугольного треугольника .

   Во втором случае (рис.5)  и тогда , ч.т.д.

2) Пусть теперь вектор  отложен от произвольной точки А пространства точек S. Найдем проекцию вектора  на ось L (см. рис.3). Далее, через точку  проведем прямую параллельно прямой АВ и обозначим через С точку её пересечения с плоскостью . Смотри, далее, рисунок 6.

                                          рис.6.

   Рассмотрим четырехугольник . Сторона  по построению, стороны , как линии пересечения параллельных плоскостей  и  плоскостью четырехугольника . Таким образом, четырехугольник  – параллелограмм и . А так как точка С лежит на плоскости , то точка  – проекция точки С на ось L и, следовательно, . Из равенства векторов  следует равенство их модулей и равенство углов между этими векторами и осью L, откуда, по уже доказанной в первой части этого доказательства формуле, получаем:

, ч.т.д. Теорема доказана.