п.4. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

   Если точка z комплексной плоскости имеет декартовые координаты (х, у), т.е.  и полярные , то они связаны соотношением (1):

                             .

По определению,  и из (1) получаем:

                             .                                   (9)

Подставляя в алгебраическую форму записи числа z получаем: . Или

                                             (10)

Определение. Запись комплексного числа в виде (3) называется его тригонометрической формой.

Замечание. Поскольку одну букву писать экономнее нежели несколько, то чаще всего тригонометрическую форму комплексного числа пишут в виде:

                          ,                                (11)

где .

Теорема. (О равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме.)

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули и аргументы.

   Доказательство. Так как между всеми комплексными числами и всеми точками комплексной плоскости существует взаимно однозначное соответствие, то равные комплексные числа отождествляются на комплексной плоскости с одной и той же точкой, следовательно, имеют одни и те же полярные координаты, т.е. полярный радиус, который по определению равен модулю комплексного числа, и полярный угол, который по определению равен аргументу комплексного числа. Обратно, если комплексные числа имеют равные модули и аргументы, то они изображаются на комплексной плоскости одной точкой и, следовательно, равны.

Теорема доказана.

   Используя соотношения, которые связывают полярные и декартовые координаты точки плоскости, можно найти модуль и аргумент комплексного числа зная его действительную и мнимую части.

   Пусть , т.е. , . Тогда

                                    ,                               (12)

, если точка z лежит в первой или четвертой четверти или , если точка z лежит во второй или третьей четверти. Также можно пользоваться формулами (6) – (8) п.1, где .

Пример. Найти тригонометрическую форму записи комплексного числа z, если:

а) ;  б) ;  в) ;  г) ;  д) .

Решение. а) , .

 , .

Ответ: .

б) , , , .

Ответ: .

в) , , , .

Ответ: .

г) , , , .

Ответ: .

д) , , ,

.

Ответ: , где .

Замечание. В некоторых случаях удобнее не пользоваться формулами, а изображать на чертеже соответствующую точку на комплексной плоскости и находить модуль и аргумент комплексного числа пользуясь чертежом. Например, найдем тригонометрическую форму комплексного числа .

   Число  соответствует на комплексной плоскости точке . Отметим ее на координатной плоскости:

                   

                                       рис.5.

   Из рис.5 мы сразу же видим, что  и . Отсюда, .

Найдем, далее тригонометрическую форму числа комплексно сопряженного числу , т.е. .

Из рис.5 мы видим, что ,  и

 или .

   Замечание. Несмотря на то, что , а , форма записи комплексного числа z с аргументом  в виде  не является тригонометрической, т.к. . В этом случае правильной записью тригонометрической формы комплексного числа будет:

 или .