п.3. Теорема Шаля.

Теорема. (М. Шаль, 1830г.)

Для любых трех точек А, В, С оси L справедливо равенство:

                       ,                        (5)

где – декартовые координаты векторов  оси L соответственно.

   Доказательство. 1) Рассмотрим сначала случай, когда точка С находится на отрезке АВ:

         

                                         рис.8.

В этом случае векторы  и   правоориентированные и их проекции на ось L равны их модулям, т.е. ,  и . Т.к. ,  и , то по свойству функции расстояния .

   Отсюда следует равенство  и , ч.т.д.

2) Теперь рассмотрим какой-нибудь другой случай расположения точек А, В, С на оси L. См., например, рис.9:

                                  рис.9.

Так как точка А находится на отрезке ВС, то используя только что доказанный случай, имеем равенство: . По следствию о декартовых координатах противоположных векторов , , откуда следует  и , ч.т.д.

Аналогично доказываются все оставшиеся случаи расположения точек А, В, С на оси L.

Теорема доказана.

п.4. Свойства проекции вектора на ось.

Теорема. (Свойства проекции.)

Для любых векторов , для любого действительного числа k и любой оси L выполняются равенства:

1) ;  2) .

   Коротко оба свойства можно сформулировать так:

Проекция суммы равна сумме проекций и скалярный множитель можно выносить за знак проекции.

   Доказательство. 1) Отложим вектор  от произвольной точки А и сложим с вектором  по правилу треугольника:

                                               рис.10.

Пусть  – проекции точек А, В и С на ось L.  В каком бы порядке не располагались точки  на оси L, по теореме Шаля имеем:

                      ,                        (6)

где – декартовые координаты векторов  на оси L. С другой стороны, по определению декартовой координаты вектора на ось,

, , . Подставляя в (6), получаем . А так как , , , то , ч.т.д.

2) Рассмотрим два случая: а) ;  б) .

                   рис.11.                                рис.12.

   а) Пусть . По теореме о вычислении проекции

вектора на ось   и по определению умножения вектора на число .

Отсюда следует (см. рис.11), что  и

, ч.т.д.

б) Пусть  (см. рис.12). Имеем  и . Обозначив , получаем:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие. (О декартовых координатах векторов оси.)

 Пусть L – произвольная ось и  – произвольные векторы этой оси. Пусть  – произвольное действительное число. Тогда:

1) если , то ;

2) если , то .

   Другими словами можно сказать, что при сложении векторов оси их декартовые координаты складываются, а при умножении вектора оси на действительное число его декартовая координата умножается на это число.

   Доказательство. По определению декартовой координаты вектора

,

, ч.т.д.

Замечание. Нетрудно показать, исходя из определения декартовой координаты вектора оси, что любой вектор  оси L однозначно определяется своей декартовой координатой . Другими словами, существует взаимно однозначное соответствие между всеми векторами пространства  и полем скаляров R, т.е. , причем это соответствие сохраняет операции сложения и умножения на скаляр (см. следствие о декартовых координатах векторов оси). В современной алгебре, такое соответствие называется изоморфизмом векторных пространств. Это позволяет отождествить вектор оси с его декартовой координатой и писать:

                                   

Такая форма записи вектора оси называется координатной.

   Отсюда сразу же вытекает следующая теорема.

Теорема. (О равенстве векторов.)

 Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их декартовые координаты.