п.8. Свойства сложения векторов.

1. Сложение векторов подчиняется закону ассоциативности, т.е.  верно равенство:

                                       (1)

Доказательство. Воспользуемся правилом треугольника сложения векторов. Пусть  , . Тогда . Отложим вектор  от точки С и обозначим его конец буквой D, так что .

   Тогда по правилу треугольника . С другой стороны, отложим вектор   и , ч.т.д. См. также рис. 9.

            А                                                  В

 

                            D                                                  С

                                            рис. 9.

2. Существует нулевой элемент относительно сложения векторов, т.е. нулевой вектор:

          верны равенства .

3. Для любого вектора  существует противоположный ему вектор , такой, что .

4. Сложение векторов подчиняется закону коммутативности, т.е.  верно равенство:

               .

   Последнее свойство сразу же следует из правила параллелограмма сложения векторов.

   Таким образом, мы видим, что множество всех векторов  относительно операции сложения является абелевой группой, очевидно, бесконечной.