Свойства комплексно сопряженных чисел.
п.4. Свойства комплексно сопряженных чисел.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
7.
.
8.
9. Для любого многочлена с действительными коэффициентами от комплексной переменной z
.
Доказательство. 1) Пусть – произвольное комплексное число. Тогда по определению комплексно сопряженного числа
и
, ч.т.д.
2) Пусть . Тогда
и
. С другой стороны,
и
, откуда и следует, что
.
3) Докажем с помощью метода математической индукции, что равенство верно для любого числа слагаемых n.
а) База индукции.
При ,
равенство
только что доказано.
б) Индукционная гипотеза.
Предположим, что утверждение верно, если число слагаемых равно :
.
в) Индукционный переход.
Так как утверждение верно для двух слагаемых, то
. Далее используем индукционное предположение:
, откуда и следует доказываемое равенство.
4) Пусть . Тогда
и
. С другой стороны,
, откуда и следует, что
.
5) Доказывается аналогично пункту 3) методом математической индукции.
6) Пусть и k – произвольное натуральное число. Тогда по определению натуральной степени числа
, ч.т.д.
7) Пусть а – действительное число. Тогда и по определению комплексно сопряженного числа
, ч.т.д.
8) Пусть . По уже доказанным в пунктах 4) и 7) свойствах
, ч.т.д.
9) Пусть z – комплексная переменная и – многочлен от комплексной переменной z с действительными коэффициентами:
, где
– действительные числа. Тогда, используя уже доказанные свойства, получаем:
, ч.т.д.
Теорема доказана.
Пример. Вычислить .
Решение. Обозначим . Тогда
,
,
. Отсюда,
.
Оставьте комментарий!