п.4. Свойства комплексно сопряженных чисел.

1.   .

2.  .

3.   .

4.  .

5.   

6. .

7.  .

8.  

9. Для любого многочлена  с действительными коэффициентами от комплексной переменной z

    .

Доказательство. 1) Пусть  – произвольное комплексное число. Тогда по определению комплексно сопряженного числа  и , ч.т.д.

2) Пусть . Тогда  и . С другой стороны,  и , откуда и следует, что .

3) Докажем с помощью метода математической индукции, что равенство  верно для любого числа слагаемых n.

а) База индукции.

При ,  равенство   только что доказано.

б) Индукционная гипотеза.

Предположим, что утверждение верно, если число слагаемых равно :.

в) Индукционный переход.

Так как утверждение верно для двух слагаемых, то

. Далее используем индукционное предположение:

, откуда и следует доказываемое равенство.

4) Пусть . Тогда  и . С другой стороны, , откуда и следует, что .

5) Доказывается аналогично пункту 3) методом математической индукции.

6) Пусть  и k – произвольное натуральное число. Тогда по определению натуральной степени числа , ч.т.д.

7) Пусть а – действительное число. Тогда  и по определению комплексно сопряженного числа , ч.т.д.

8) Пусть . По уже доказанным в пунктах 4) и 7) свойствах  , ч.т.д.

9) Пусть z – комплексная переменная и  – многочлен от комплексной переменной z с действительными коэффициентами:, где

– действительные числа. Тогда, используя уже доказанные свойства, получаем:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Пример. Вычислить .

Решение. Обозначим . Тогда , , . Отсюда, .