Свойства гиперболы. Асимптоты гиперболы.

Опубликовано: 5 июля 2009.
Рубрика: Гипербола.

п.3. Свойства гиперболы.

Теорема. (Свойства гиперболы.)

1. В канонической для гиперболы системе координат, в полосе

                                       

нет точек гиперболы.

2. Точки  лежат на гиперболе.

3. Гипербола является кривой, симметричной относительно своих главных осей.

4. Центр гиперболы является его центром симметрии.

   Доказательство. 1, 2) Сразу же следует из канонического уравнения гиперболы.

3, 4) Пусть М(х, у) – произвольная точка гиперболы. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнению (4). Но тогда координаты точек  также удовлетворяют уравнению (4), и, следовательно, являются точками гиперболы, откуда и следуют утверждения теоремы.

Теорема доказана.

Определение. Величина 2а называется действительной осью гиперболы, величина а называется действительной полуосью гиперболы.

Определение. Величина 2b называется мнимой осью гиперболы, величина b называется мнимой полуосью гиперболы.

Определение. Точки пересечения гиперболы с его действительной (фокальной) осью: , называются действительными вершинами гиперболы.

Определение. Точки  называются мнимыми вершинами гиперболы.

Определение. Две пары прямых, параллельных главным осям гиперболы

                                 , ,

высекают прямоугольник, который называется основным прямоугольником гиперболы.

                                            рис.3.

п.4. Асимптоты гиперболы.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если при удалении от начала координат расстояние между ними стремится к нулю.

Уточним понятие расстояния от кривой L до прямой. Пусть М – произвольная (текущая) точка кривой L. Опустим из точки М перпендикуляр MN на прямую. Тогда наименьшее возможное значение длины этого перпендикуляра

                                   

называется расстоянием от кривой L до данной прямой.

                                            рис.4.

Вернемся к понятию асимптоты кривой.

                

                                      рис.5.

   Пусть дана прямая  и кривая L. Пусть  – точка на кривой L,  – длина перпендикуляра, опущенного на прямую  а  из точки М,  – длина отрезка прямой, проходящей через точку М параллельно оси ординат, заключенного между прямой  а  и кривой L. Из построения следует, что если М(х, у) – координаты точки М, то  – координаты точки . По определению, прямая а является асимптотой кривой L тогда и только тогда, когда  при . В свою очередь .

   Таким образом, прямая а является асимптотой кривой L тогда и только тогда, когда

                                        .

Теорема. Для того, чтобы прямая а была асимптотой для кривой L необходимо и достаточно, чтобы

                         .                            (5)

   Доказательство. Угол между прямой а и осью ординат Оу остается неизменным при любом расположении точки М на кривой L и не равным нулю (мы предполагаем, что прямая ). Из прямоугольного треугольника MNK следует, что

                                ,

где . Отсюда,

                           .

Теорема доказана.

   Применим доказанную теорему к нахождению асимптот гиперболы.

Теорема. Прямые  являются асимптотами гиперболы.

   Доказательство. В силу симметричности гиперболы относительно осей координат, достаточно доказать, что прямая  является асимптотой для гиперболы в 1 – й четверти, т.е. при  и . Выражая их канонического уравнения гиперболы у, получаем

                            .                     (6)

Мы можем рассматривать гиперболу в 1-й четверти как график функции, задаваемой равенством (6). Найдем ее производную:

                                .

Следовательно, в первой четверти эта функция является возрастающей. Далее,

                     ,

т.е. график функции (гипербола) лежит ниже прямой  для всех . Вычисляем предел (5):

.

Отсюда, в силу предыдущей теоремы, следует, что прямая  является асимптотой для гиперболы в первой четверти. Теперь справедливость теоремы следует из симметрии гиперболы относительно осей и начала координат.

Теорема доказана.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru google.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!

Яндекс.Метрика