п.3. Свойства эллипса.

Теорема. (Свойства эллипса.)

1. В канонической для эллипса системе координат, все

    точки эллипса находятся в прямоугольнике

                                , .

2. Точки  лежат на

    эллипсе.

3. Эллипс является кривой, симметричной относительно

    своих главных осей.

4. Центр эллипса является его центром симметрии.

   Доказательство. 1, 2) Сразу же следует из канонического уравнения эллипса.

3, 4) Пусть М(х, у) – произвольная точка эллипса. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнению (4). Но тогда координаты точек  также удовлетворяют уравнению (4), и, следовательно, являются точками эллипса, откуда и следуют утверждения теоремы.

Теорема доказана.

                                          рис.3.

Определение. Величина 2а называется большой осью эллипса, величина а называется большой полуосью эллипса.

Определение. Величина 2b называется малой осью эллипса, величина b называется малой полуосью эллипса.

Определение. Точки пересечения эллипса с его главными осями называются вершинами эллипса.

Замечание. Эллипс можно построить следующим образом. На плоскости в фокусы "забиваем по гвоздю" и закрепляем на них нить длиной . Затем берем карандаш и с его помощью натягиваем нить. Затем передвигаем карандашный грифель по плоскости, следя за тем, чтобы нить была  в натянутом состоянии.

   Из определения эксцентриситета следует, что

                                   

   Зафиксируем число а и устремим число с к нулю. Тогда при ,  и . В пределе мы получаем

 или  – уравнение окружности.

Таким образом, мы можем считать, что окружность есть эллипс с нулевым эксцентриситетом.

   Устремим теперь . Тогда ,  и мы видим, что в пределе эллипс вырождается в отрезок прямой  в обозначениях рисунка 3.

п.4. Параметрические уравнения эллипса.

Теорема. Пусть  – произвольные действительные числа. Тогда система уравнения

                          ,                                (6)

является параметрическими уравнениями эллипса в канонических для эллипса системе координат.

   Доказательство. Достаточно доказать, что система уравнений (6) равносильна уравнению (4), т.е. они имеют одно и то же множество решений.

1) Пусть (х, у) – произвольное решение системы (6). Разделим первое уравнение на а, второе – на b, возводим оба уравнения в квадрат и складываем:

                         .

Т.е. любое решение (х, у) системы (6) удовлетворяет уравнению (4).

2) Обратно, пусть пара (х, у) является решением уравнения (4), т.е.

                                   .

Из этого равенства следует, что точка с координатами  лежит на окружности единичного радиуса с центром в начале координат, т.е. является точкой тригонометрической окружности, которой соответствует некоторый угол :

             

                                             рис.4.

Из определения синуса и косинуса сразу же следует, что

, , где , откуда и следует, что пара (х, у) является решением системы (6), ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. Эллипс можно получить в результате равномерного "сжатия" окружности радиуса а к оси абсцисс.

   Пусть  – уравнение окружности с центром в начале координат. "Сжатие" окружности к оси абсцисс есть ни что иное, как преобразование координатной плоскости, осуществляемое по следующему правилу. Каждой точке М(х, у) поставим в соответствие точку этой же плоскости , где ,  – коэффициент "сжатия".

                  

                                       рис.5.

При этом преобразовании каждая точка окружности "переходит" в другую точку плоскости, имеющую ту же самую абсциссу, но меньшую ординату. Выразим старую ординату точки через новую:

                                      

и подставим в уравнение окружности:

                                .

Отсюда получаем:

                                   .                               (7)

Отсюда следует, что если до преобразования "сжатия" точка М(х, у) лежала на окружности, т.е. ее координаты удовлетворяли уравнению окружности, то после преображования "сжатия" эта точка "перешла" в точку , координаты которой удовлетворяют уравнению эллипса (7). Если мы хотим получить уравнение эллипса с малой полуосью b, то нужно взять коэффициент сжатия

                                          .

                                          рис.6.