п.4. Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов  называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго вектора на третий и обозначается

                                .

Теорема. (Геометрический смысл смешанного произведения.)

1) Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах, как на его ребрах:

                          .

2) , если тройка  – правоориентированная и  в противном случае.

   Доказательство. 1) Обозначим через  объем параллелепипеда, построенного на данных векторах, как на его ребрах.

    

                                             рис.3.

   Объем параллелепипеда V равен произведению площади основания S на высоту Н: .

   Площадь основания S численно равна модулю векторного произведения: , а высота Н равна модулю проекции вектора  на вектор :

                             .

Отсюда получаем:

, ч.т.д.

2) Так как

, где , то знак смешанного произведения зависит от угла . Если он острый, то смешанное произведение  и , если угол  – тупой. А это зависит, в свою очередь, от ориентации тройки векторов . На рисунке 3 изображена правая тройка векторов . Если смотреть со стороны третьего вектора , то кратчайший поворот первого вектора  ко второму  осуществляется против часовой стрелки. В этом случае угол  – острый и . Если же тройка  – левая, то конец вектора  будет лежать ниже плоскости векторов  и  (по сравнению с рис.3) и угол  будет тупым и , ч.т.д.

Теорема доказана.

   Будем говорить, что тройки векторов  и  получились из тройки  с помощью круговой перестановки векторов. В первом случае третий вектор  переставляется на первое место, а векторы  и  сдвигаются вправо на второе и третье места соответственно. Во втором случае, первый вектор  переставляется на третье место, а векторы  и  сдвигаются влево на первое и второе места соответственно. Заметим, что при круговой перестановке векторов ни один из них не остается на своем месте.

   Если же в тройке векторов меняются местами только два вектора, а один из векторов остается на своем месте, то такую перестановку мы будем называть не круговой перестановкой (или транспозицией). Так тройки , ,  получаются из тройки  транспозицией векторов. Так, например, в тройке  остался на третьем месте вектор .

   Любую тройку векторов можно упорядочить 6-ю способами. Из них три тройки будут правыми и три тройки будут левыми.

   Если тройка  правая (как на рис.3), то правыми будут и тройки полученные из нее круговой перестановкой:  и . В то же время, тройка  будет левой и левой же будут тройки, полученные из нее круговой перестановкой:  и .

Лемма. Круговая перестановка в тройке векторов не изменяет ее ориентации, а транспозиция векторов изменяет ориентацию тройки на противоположную.

   Доказательство проведите самостоятельно с использованием соответствующих картинок.

1) ;

2) ;

3) .

   Доказательство. 1) По модулю все эти смешанные произведения равны друг другу, т.к. параллелепипед, построенный на данных трех векторах, как его ребрах, не зависит от того, в каком порядке мы записываем его ребра и, соответственно, не изменяется его объем.  

2) Знак смешанного произведения упорядоченной тройки векторов зависит от ее ориентации, которая не меняется при круговой перестановке и меняется при транспозиции, откуда и следуют доказываемые равенства.

3) Воспользуемся уже доказанным равенством, определением смешанного произведения и свойством коммутативности скалярного произведения:

             .

Следствие доказано.