Теорема. (Свойство линейности смешанного произведения.) Для любых векторов и  справедливы следующие равенства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Иначе можно сказать, что смешанное произведение линейно по каждому своему аргументу.

   Мы рассматриваем смешанное произведение как числовую функцию трех аргументов. Первые два свойства называются свойством линейности по первому аргументу, третье и четвертое – по второму аргументу и последние два – по третьему аргументу.

   Доказательство. Достаточно доказать первое равенство, все остальные доказываются аналогично.

   Воспользуемся определением смешанного произведения и свойством линейности скалярного произведения:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Лемма. (О вычислении координат вектора.)

 Пусть . Тогда

                 , , .

   Доказательство. Так как , то по теореме о скалярном произведении векторов в координатной форме, получаем:

 . Аналогично доказываются оставшиеся два равенства.

Лемма доказана.

Теорема. (Свойство линейности векторного произведения.)

Для любых векторов и действительных чисел справедливы следующие равенства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

   Доказательство. 1) Докажем, что векторы  и  имеют равные координаты, откуда и будет следовать их равенство. Пусть

    , .

Тогда по лемме, используя свойства линейности смешанного и скалярного произведений, получаем:

.

.

Аналогично доказываются равенства  и .

Оставшиеся равенства доказываются по такой же схеме.

Теорема доказана.