п.1. Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение: .

Теорема. (Свойства скалярного произведения.)

1). Скалярное произведение подчиняется закону коммутативности:

                         , .

2). Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой или векторы ортогональны:

              или  или .

3). Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

                           .

4).  .

   Доказательство. Все свойства очевидны из определения и их доказательства предоставляются читателям.

Теорема. (Свойство линейности скалярного произведения.)

1) Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов:

                     ,  .

2) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:

             , , .

   Доказательство. По свойству 4 предыдущей теоремы и по свойству проекции вектора на вектор (на ось) имеем:

.

Второе свойство доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Замечание. Скалярное произведение можно рассматривать как числовую функцию от двух переменных, определенную на декартовом квадрате  множества векторов :

                                        ,

т.е. , .

Тогда, свойства теоремы могут быть записаны так:

1) , ;

2) , , .

Первое из этих свойств называется свойством аддитивности функции f по первому аргументу, а второе – свойством однородности по первому аргументу. Если выполняются оба свойства, то говорят, что функция f линейна по первому аргументу. Отсюда происходит и название этих свойств скалярного произведения.

   В силу коммутативности,  скалярное произведение как функция двух переменных линейна и по второму аргументу, т.е. справедливы еще два свойства:

3) ,  ;

4) , , .

Теорема. (Скалярное произведение векторов в координатной форме.) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

   Другими словами, пусть , . Тогда

                             .                       (1)

   Доказательство. Учитывая, что скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю, а скалярный квадрат единичного вектора равен 1 , получаем:

        

     

    

     

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть . Тогда .

   Доказательство. Эта формула нам уже известна. Здесь ее можно получить, используя равенство (1), в котором положим :

       ,

откуда и следует доказываемая формула.

Следствие доказано.

Следствие 2. Пусть , . Тогда

.

   Доказательство. Очевидно.