Решение задач на прямую в пространстве и на плоскости

Опубликовано: 16 июня 2009.

п.4. Решение некоторых задач аналитической геометрии на прямую в пространстве и на плоскости.

Задача 1. Найти уравнение прямой, проходящей через две различные точки и .

Решение. Вектор

очевидно, является направляющим вектором прямой, которая проходит через эти точки. В уравнениях (8) есть координаты произвольной фиксированной точки данной прямой, поэтому в качестве такой точки можно взять точку или , без разницы которую.

Подставляя в уравнения (8) координаты точки и координаты направляющего вектора получаем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

. (10)

Задача 2. Найти угол между прямыми

и .

Решение. Из канонических уравнений прямых находим их направляющие векторы и . Тогда искомый угол равен либо углу между их направляющими векторами

где – скалярное произведение векторов, либо равен

Следствие. (Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.)

1. Две прямые параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарные:

2. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы ортогональны:

Доказательство очевидно.

Задача 3. Определить взаимное расположение двух прямых

и .

Две прямые в пространстве могут совпадать, быть параллельными, пересекаться в одной точке или быть скрещивающимися.

1) Если , т.е если , то прямые либо совпадают: , либо параллельны: . Определить, какой из этих двух случаев имеет место быть, очень просто. Если точка лежит и на прямой , т.е. ее координаты удовлетворяет уравнениям прямой : , то прямые совпадают. В противном случае прямые параллельны.

2) Если , то прямые либо скрещиваются, либо пересекаются. Если прямые пересекаются, то обе они лежат в одной плоскости и, следовательно, векторы компланарные, в противном случае, т.е. когда прямые скрещиваются, векторы не компланарные. Используя смешанное произведение векторов, получаем:

а) прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда ;

б) прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда .

1) прямые совпадают , т.е.

и ;

2) прямые параллельны , т.е.

не выполняется хотя бы одно из равенств

;

3) прямые пересекаются в одной точке

, т.е.

хотя бы одно из равенств не выполняется и

;

4) прямые скрещиваются , т.е.

. (11)

Замечание. Эту же задачу можно решить следующим образом.

Теорема (О взаимном расположении двух прямых в пространстве.)

Пусть

и , где

– две произвольные прямые в пространстве и

. (12)

1) если система уравнений (12) имеет единственное решение (t, k), то прямые пересекаются в одной точке;

2) если система уравнений (12) не имеет решений, то прямые скрещиваются и тогда выполняется неравенство (11) или, в противном случае, прямые параллельны;

3) если система уравнений (12) имеет более одного решения, то прямые совпадают.

Доказательство очевидно.

Задача 4. Найти точку пересечения двух прямых

и .

Решение. Запишем уравнения обеих прямых в параметрической форме и рассмотрим систему (12).

Если прямые пересекаются, то система (12) должна иметь единственное решение (k, t). Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения прямой (или k в параметрические уравнения прямой ), получаем координаты искомой точки.

Замечание. Все рассмотренные задачи аналогично решаются на координатной плоскости, например, Оху. В этом случае третья координата равна нулю. Все остальное остается таким же.

Параметрические уравнения прямой: