Решение задач на прямую в пространстве и на плоскости

Опубликовано: 16 июня 2009.

п.4. Решение некоторых задач аналитической геометрии на прямую в пространстве и на плоскости.

Задача 1. Найти уравнение прямой, проходящей через две различные точки  и .

   Решение. Вектор

                      ,

очевидно, является направляющим вектором прямой, которая проходит через эти точки. В уравнениях (8)  есть координаты произвольной фиксированной точки данной прямой, поэтому в качестве такой точки можно взять точку  или , без разницы которую.

Подставляя в уравнения (8) координаты точки  и координаты направляющего вектора  получаем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

                  .                            (10)

Задача 2. Найти угол между прямыми

 и .

   Решение. Из канонических уравнений прямых находим их направляющие векторы  и . Тогда искомый угол равен либо углу между их направляющими векторами

                      ,

где  – скалярное произведение векторов, либо равен

                                 .

Следствие. (Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.)

1. Две прямые параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарные:

    .

2. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы ортогональны:

.

Доказательство очевидно.

Задача 3. Определить взаимное расположение двух прямых

  и .

   Две прямые в пространстве могут совпадать, быть параллельными, пересекаться в одной точке или быть скрещивающимися.

1) Если , т.е если , то прямые либо совпадают: , либо параллельны: . Определить, какой из этих двух случаев имеет место быть, очень просто. Если точка  лежит и на прямой , т.е. ее координаты удовлетворяет уравнениям прямой : , то прямые совпадают. В противном случае прямые параллельны.

2) Если , то прямые либо скрещиваются, либо пересекаются. Если прямые пересекаются, то обе они лежат в одной плоскости и, следовательно, векторы  компланарные, в противном случае, т.е. когда прямые скрещиваются, векторы  не компланарные. Используя смешанное произведение векторов, получаем:

а) прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда ;

б) прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда .

1) прямые совпадают , т.е.

          и ;

2) прямые параллельны , т.е.

                            и

не выполняется хотя бы одно из равенств

                  ;

3) прямые пересекаются в одной точке

                    , т.е.

хотя бы одно из равенств  не выполняется и

                     ;

4) прямые скрещиваются , т.е.

                      .                 (11)

Замечание. Эту же задачу можно решить следующим образом.

Теорема (О взаимном расположении двух прямых в пространстве.)

 Пусть

     и , где

– две произвольные прямые в пространстве и

                            .                              (12)

1) если система уравнений (12) имеет единственное решение (t, k), то прямые пересекаются в одной точке;

2) если система уравнений (12) не имеет решений, то прямые скрещиваются и тогда выполняется неравенство (11) или, в противном случае, прямые параллельны;

3) если система уравнений (12) имеет более одного решения, то прямые совпадают.

   Доказательство очевидно.

Задача 4. Найти точку пересечения двух прямых

 и .

   Решение. Запишем уравнения обеих прямых в параметрической форме и рассмотрим систему (12).

   Если прямые пересекаются, то система (12) должна иметь единственное решение (k, t). Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения прямой  (или k в параметрические уравнения прямой ), получаем координаты искомой точки.

Замечание. Все рассмотренные задачи аналогично решаются на координатной плоскости, например, Оху. В этом случае третья координата равна нулю. Все остальное остается таким же.

Параметрические уравнения прямой:

                                .

Каноническое уравнение прямой

                            .

Пусть  и .

Условия совпадения прямых:

              или

             и .

Условия параллельности :

             и .

Условия перпендикулярности :

          .

Следствие. (О взаимном расположении двух прямых на плоскости.) Пусть

        и , где

– две произвольные прямые на плоскости Оху и

                       .                                 (13)

1) Если система уравнений (13) имеет единственное решение (t, k), то прямые пересекаются в одной точке.

2) Если система уравнений (13) не имеет решений, то прямые параллельны;

3) Если система уравнений (13) имеет более одного решения, то прямые совпадают.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru google.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!

Яндекс.Метрика