Решение задач на прямую в пространстве и на плоскости
п.4. Решение некоторых задач аналитической геометрии на прямую в пространстве и на плоскости.
Задача 1. Найти уравнение прямой, проходящей через две различные точки и
.
Решение. Вектор
,
очевидно, является направляющим вектором прямой, которая проходит через эти точки. В уравнениях (8) есть координаты произвольной фиксированной точки данной прямой, поэтому в качестве такой точки можно взять точку
или
, без разницы которую.
Подставляя в уравнения (8) координаты точки и координаты направляющего вектора
получаем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
. (10)
Задача 2. Найти угол между прямыми
и
.
Решение. Из канонических уравнений прямых находим их направляющие векторы и
. Тогда искомый угол равен либо углу между их направляющими векторами
,
где – скалярное произведение векторов, либо равен
.
Следствие. (Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.)
1. Две прямые параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарные:
.
2. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы ортогональны:
.
Доказательство очевидно.
Задача 3. Определить взаимное расположение двух прямых
и
.
Две прямые в пространстве могут совпадать, быть параллельными, пересекаться в одной точке или быть скрещивающимися.
1) Если , т.е если
, то прямые либо совпадают:
, либо параллельны:
. Определить, какой из этих двух случаев имеет место быть, очень просто. Если точка
лежит и на прямой
, т.е. ее координаты удовлетворяет уравнениям прямой
:
, то прямые совпадают. В противном случае прямые параллельны.
2) Если , то прямые либо скрещиваются, либо пересекаются. Если прямые пересекаются, то обе они лежат в одной плоскости и, следовательно, векторы
компланарные, в противном случае, т.е. когда прямые скрещиваются, векторы
не компланарные. Используя смешанное произведение векторов, получаем:
а) прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда ;
б) прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда .
1) прямые совпадают , т.е.
и
;
2) прямые параллельны , т.е.
и
не выполняется хотя бы одно из равенств
;
3) прямые пересекаются в одной точке
, т.е.
хотя бы одно из равенств не выполняется и
;
4) прямые скрещиваются , т.е.
. (11)
Замечание. Эту же задачу можно решить следующим образом.
Теорема (О взаимном расположении двух прямых в пространстве.)
Пусть
и
, где
– две произвольные прямые в пространстве и
. (12)
1) если система уравнений (12) имеет единственное решение (t, k), то прямые пересекаются в одной точке;
2) если система уравнений (12) не имеет решений, то прямые скрещиваются и тогда выполняется неравенство (11) или, в противном случае, прямые параллельны;
3) если система уравнений (12) имеет более одного решения, то прямые совпадают.
Доказательство очевидно.
Задача 4. Найти точку пересечения двух прямых
и
.
Решение. Запишем уравнения обеих прямых в параметрической форме и рассмотрим систему (12).
Если прямые пересекаются, то система (12) должна иметь единственное решение (k, t). Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения прямой (или k в параметрические уравнения прямой
), получаем координаты искомой точки.
Замечание. Все рассмотренные задачи аналогично решаются на координатной плоскости, например, Оху. В этом случае третья координата равна нулю. Все остальное остается таким же.
Параметрические уравнения прямой:
.
Каноническое уравнение прямой
.
Пусть и
.
Условия совпадения прямых:
или
и
.
Условия параллельности :
и
.
Условия перпендикулярности :
.
Следствие. (О взаимном расположении двух прямых на плоскости.) Пусть
и
, где
– две произвольные прямые на плоскости Оху и
. (13)
1) Если система уравнений (13) имеет единственное решение (t, k), то прямые пересекаются в одной точке.
2) Если система уравнений (13) не имеет решений, то прямые параллельны;
3) Если система уравнений (13) имеет более одного решения, то прямые совпадают.
Оставьте комментарий!