Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел
п.7. Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел.
Вывод формулы корней квадратного уравнения в поле комплексных чисел ничем не отличается от такового в поле действительных чисел (как, впрочем, и в любом поле, в том числе и в конечном). Вспомним этот вывод.
Теорема. Пусть , z – комплексная переменная. Тогда квадратное уравнение
имеет ровно два корня (они могут быть равными), которые можно найти по формуле:
.
Доказательство. Выделим полный квадрат в левой части квадратного уравнения:
.
Теперь квадратное уравнение можно записать в виде:
. Здесь мы применили следствие из п.6. Доказываемая формула очевидно следует из последнего равенства.
Теорема доказана.
Пример. Решить уравнение .
Решение. Вычисляем дискриминант
. Вычисляем корни из дискриминанта по формуле квадратных корней из комплексного числа:
.
Вычисляем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения:
или
;
.
Ответ: .
Замечание. Аналогично решаются квадратные уравнения с действительными коэффициентами, но с отрицательным дискриминантом.
Пример. Решить уравнение .
Решение. Вычислим дискриминант. . Отсюда следует, что действительных корней квадратное уравнение не имеет, но, согласно теореме, оно имеет два корня в поле комплексных чисел. Для вычисления корня из дискриминанта применяем следствие из предыдущего п.6, смотри там же пример. Получаем:
. Теперь подставляем в формулу корней квадратного уравнения:
.
Ответ: .
Оставьте комментарий!