Разложение по базису (продолжение)

1) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства   и множеством действительных чисел R.

2) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства   и декартовым квадратом  множества действительных чисел R.

3) Существует взаимно однозначное соответствие между множеством векторов векторного пространства   и декартовым кубом  множества действительных чисел R.

   Доказательство. Докажем третье утверждение. Первые два доказываются аналогично.

   Выберем и зафиксируем в пространстве  какой-нибудь базис  и устроим отображение  по следующему правилу:

   ,          (6)

т.е. каждому вектору поставим в соответствие упорядоченный набор его координат.

   Так как при фиксированном базисе каждый вектор имеет единственный набор координат, то соответствие, задаваемое правилом (6) действительно является отображением.

   Из доказательства теоремы следует, что различные векторы имеют различные координаты относительно одного и того же базиса, т.е. отображение (6) является инъекцией.

   Пусть  произвольный упорядоченный набор действительных чисел.

   Рассмотрим вектор  . Этот вектор по построению имеет координаты . Следовательно, отображение (6) является сюръекцией.

   Отображение, которое одновременно инъективное и сюръективное является биективным, т.е. взаимно однозначным, ч.т.д.

Следствие доказано.

Теорема. (О равенстве двух векторов.)

 Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты относительно одного и того же базиса.

   Доказательство сразу же вытекает из предыдущего следствия.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru google.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!

Яндекс.Метрика