п.6. Равенство векторов.

Определение. Два вектора называются равными, если они сонаправленные и имеют равные модули.

   Иначе, .

Равные векторы можно обозначать одной буквой (с чертой или со стрелкой): . В этом случае говорят, что вектор  отложен от точки А. Если , то говорят, что вектор  отложен от точки С. Таким образом, любой вектор можно отложить от любой точки пространства S.

Замечание. На самом деле, понятие равенства векторов расширяет само понятие вектора. Если первоначально под вектором мы понимали упорядоченную пару точек пространства S, т.е. направленный отрезок, то теперь под вектором мы будем понимать множество  в с е х направленных отрезков, сонаправленных друг с другом и имеющих одинаковую длину. Если один и тот же вектор отложить от двух различных точек, например, , то направленный отрезок  можно совместить с направленным отрезком  с помощью параллельного переноса. Часто направленные отрезки  и  называются представителями одного и того же вектора .

п.7. Сложение векторов.

   Пусть  – множество всех векторов пространства точек S. Определим на этом множестве операцию сложения векторов.

Определение. Пусть  – два произвольных вектора.

Отложим вектор , от какой-нибудь точки А и обозначим его конец буквой В, так что . Вектор  отложим от точки В (от конца первого вектора) и обозначим его конец буквой С, так что  Тогда вектор  называется суммой векторов  и  и обозначается .

                             А                                               В

                                                       С

                                                    рис. 7.

   Это правило сложения векторов носит название правило треугольника.

   Существует еще одно правило сложения векторов, которое называется правилом параллелограмма и дает точно такой же результат.

   Оба вектора  и  отложим от одной точки А и обозначим через В конец вектора , через D – конец вектора .

   Достраиваем до параллелограмма. Через точку D проводим прямую параллельную АВ, через точку В – прямую параллельную AD, точку пересечения построенных прямых обозначим буквой С. Тогда ABCD – параллелограмм. Вектор . См. рис.8:

                             А                                               В

        D                                            С

                                      рис. 8.

Равенство  следует из равенства векторов  и из определения, т.е. из правила треугольника сложения векторов.

Определение. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором.

Обозначение нулевого вектора: .

   Заметим, что модуль нулевого вектора равен нулю:

. Более того, нулевой вектор является нулевым элементом относительно сложения векторов. Этот факт сразу же следует из правила треугольника сложения векторов.

   Полагаем также, по определению, что нулевой вектор коллинеарный любому вектору и, более того, сонаправленный с любым вектором и, одновременно, противоположно направлен любому вектору.

Определение. Вектор  называется противоположным вектору , если:

1) , т.е. они имеют противоположные направления;

2)  – имеют равные модули.

Обозначение. Вектор противоположный вектору  обозначается .

   Из определения противоположного вектора следует, что если , то . Действительно,  и . Из правила сложения векторов (правило треугольника) сразу же следует, что сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

, т.е. .