п.1. Расстояние между точками на плоскости и в пространстве.

   Мы выведем формулу расстояния между любыми двумя точками в пространстве. Случай на плоскости будет следовать из общей формулы как частный случай.

   Рассмотрим предварительно частный случай. Пусть вектор  коллинеарный какой-нибудь координатной оси, например, Ох.

                                     рис.1.

   Расстояние между точками А и В равно:

               .                                      (1)

Ординаты и аппликаты точек А и В в этом случае равны:

                       , .

Формула, аналогичная формуле (1) имеет место и в случаях, когда  или .

   Рассмотрим теперь общий случай расположения точек А и В в пространстве относительно системы координат Охуz.

   Пусть  и  – две произвольные точки пространства. Проведем через точки А и В плоскости параллельные координатным плоскостям. Эти 6 плоскостей высекают прямоугольный параллелепипед. См. рис.2.

               

                                        рис.2.

   Из прямоугольного треугольника ADC по теореме Пифагора , а из прямоугольного треугольника АВС:

              .

   Так как точки А, D, С лежат в плоскости перпендикулярной оси Оz, то , т.к. , то .

   Точки В, С, D лежат в плоскости перпендикулярной оси Оу, поэтому  и , откуда следует, что .

   Теперь, по формулам, аналогичным формуле (1), имеем:

            ,

            ,

            ,

 откуда следует равенство:

        .

   Таким образом мы доказали следующую теорему.

Теорема. Пусть  и . Тогда

     .            (2)

Следствие. Пусть  и . Тогда

                .

п.2. Модуль вектора, его направляющие углы и косинусы. Координаты орта вектора.

Теорема. (О модуле вектора.)

Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

   Иначе, если , то

                           .                                   (3)

   Доказательство. Пусть . Тогда равны их  модули и их декартовые координаты:  и

         , , .

Подставляя в формулу (2), получаем (3), ч.т.д.

Теорема доказана.

   Обозначим углы между вектором и координатными осями: , , .

Определение. Углы между вектором и координатными осями называются направляющими углами вектора.

                     

                                       рис.3.

Пусть . По теореме о вычислении проекции вектора на ось, имеем: , , . Отсюда следует:

            , , ,                        (4)

              .                                          (5)

   Из последнего равенства следует, что орт вектора , т.е. вектор единичной длины и сонаправленный с  имеет декартовые координаты:

                 .                              (6)

А т.к. , то по теореме о модуле вектора, получаем:

, откуда следует

                .                                  (7)