п.6. Расстояние между двумя точками на координатной оси и замечание о его обозначении.

   Замечание . В геометрии и в школьной геометрии, в частности, принято обозначать одинаково и сам отрезок и его длину. Если имеется отрезок прямой, ограниченный точками А и В, то этот отрезок как геометрический объект обозначается АВ.

                

                                       рис.15.

   С другой стороны длина отрезка, т.е. расстояние между точками А и В обозначается точно также АВ.

   Мы же, в нашем курсе, уже встретились с различными обозначениями длины отрезка:

                        .

Но и это еще не все. Если речь идет об отрезке на оси L, то есть, когда , то длину отрезка АВ мы можем обозначить и так:

        .

А если ось мы обозначим другой буквой, например, Ох или Оу, то могут появиться и другие обозначения.

   В дальнейшем мы будем стараться придерживаться традиционного обозначения и обозначать длину отрезка АВ также, как и сам отрезок: АВ.

Теорема. (О вычислении декартовой координаты вектора и расстоянии между точками числовой оси.)

Пусть Ох координатная ось, А, В – две её произвольные точки,  – их координаты,  – декартовая координата вектора .  Тогда:

1) ;  2) .

   Доказательство. По правилу треугольника сложения векторов имеем:

                       .

 Применяя следствие о декартовых координатах векторов оси, получаем

                      .

2) Из определения декартовой координаты вектора оси следует, что . Подставляя сюда доказанное уже равенство , получаем .

Теорема доказана.

Замечание. Используя доказанную теорему, можно сформулировать два правила:

1) Для того, чтобы найти координату вектора на числовой оси, нужно из координаты его конца вычесть координату его начала.

2) Расстояние между двумя точками числовой оси равно модулю разности их координат.