Расположение корней на комплексной плоскости. Корни из единицы

Опубликовано: 8 мая 2009.

п.4. Расположение корней на комплексной плоскости.

Перепишем формулу (3) в виде

, где , .

Заметим, что

                    .                        (5)

   Из этой формулы мы видим, что аргументы корней образуют арифметическую прогрессию.

   Так как модуль у всех корней одинаковый, то на комплексной плоскости они удалены от начала координат на одинаковое расстояние. Отсюда делаем вывод, что все корни на комплексной плоскости изображаются точками, лежащими на окружности радиуса  с центром в начале координат. Из формулы (5) мы видим, что угол между такими двумя соседними точками одинаковый. Отсюда делаем вывод, что все корни располагаются на окружности равномерно. Если соединить все соседние точки (корни) отрезками прямой, то получим правильный n-угольник.

                                       рис.1.

При изображении корней на комплексной плоскости около точки, с которой отождествляется корень проставляется только его аргумент, поскольку модули у всех корней одинаковые.

Пример. Изобразить все корни  на комплексной плоскости.

Решение. Сами корни мы уже вычислили (см. предыдущий пример). Изображаем координатные оси, проводим окружность радиуса  с центром в начале координат и отмечаем на ней точки полярный угол которых равен:

              , , .

   Соединим построенные точки отрезками прямых и получаем правильный треугольник.

Скругленная <a href=прямоугольная выноска: " height="64" width="83">              

                                        рис.2.

п.5. Корни из единицы.

   Пусть  – натуральное число. По формуле корней из комплексного числа, существует ровно n корней из комплексного числа . Для вычисления этих корней запишем единицу в тригонометрической форме:

, т.е. , .

   Обозначим все множество корней через . По формуле корней получаем:

                   ,                               (6)

              .            (7)

В частности,  ,

                          .                                  (8)

Заметим, что  верна формула:

                                     .                                          (9)

Действительно, равенство (9) сразу же получается по формуле Муавра:

.

Теперь мы все множество корней  из 1 можем записать так:

                                               (10)

Теорема. Множество всех корней из 1 является коммутативной группой.

   Доказательство. Сначала мы должны показать, что множество  замкнуто относительно умножения. Пусть  – два произвольных корня из 1, т.е. . Найдем их произведение:

                                        .

Замечаем, что

           .         (11)

Отсюда следует, что , если . В противном случае, . Обозначим через  и . Тогда

             , ч.т.д.

   Таким образом, на множестве  определена операция умножения и т.к. она ассоциативна и коммутативна в поле комплексных чисел, то она ассоциативна и коммутативна и на множестве . Далее, . Покажем, что любой элемент из  имеет обратный элемент также принадлежащий множеству :

                         .

Действительно, по условию . Тогда

, т.е. .

Теорема доказана.

Пример. Построить таблицу умножения для группы .

Решение. Обозначим  для простоты

. Тогда, где .

Заполняем таблицу Кэли (таблицу умножения):

                     

Изобразим все корни третьей степени из 1 на комплексной плоскости. Т.к. их модуль равен 1, то все они лежат на тригонометрической (т.е. единичной) окружности:

               

                                  рис.3.

   Здесь, , .

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru google.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!

Яндекс.Метрика