п.6. Некоторые приложения векторной алгебры.

  Допустим, что нам дана геометрическая фигура (многоугольник, призма, пирамида) и известны координаты ее вершин. Тогда мы с помощью векторной алгебры можем находить длины сторон (ребер), углы между ними, площади многоугольников, граней призмы или пирамиды, объемы.

1) Длина стороны (ребра) АВ.

   Пусть , . Тогда

,

где .

2) Угол между сторонами (ребрами) АВ и АС.

   Пусть , , . Тогда

, где

, ,

,

,

.

  В частности, , т.е.  тогда и только тогда, когда  (при условии, что  и ).

3) Площадь параллелограмма АВСD.

. Т.к.

, то осталось воспользоваться формулой для вычисления модуля вектора.

4) Площадь треугольника АВС.

                                     ,

где АВСD – параллелограмм, построенный на сторонах треугольника АВС.

5) Объем параллелепипеда .

                          .

6) Объем треугольной пирамиды SАВС.

                .

Докажем последнюю формулу. Объем пирамиды равен

, где , а высота пирамиды равна , откуда и следует доказываемая формула:

.

7) Высота треугольной пирамиды SАВС.

   Пусть H – высота, опущенная из вершины S на плоскость основания АВС. Так как , то , откуда следует

                              .

8) Момент силы относительно точки.

   Пусть  – вектор силы, приложенный к точке А и пусть С – произвольная точка.

   В механике моментом силы относительно точки С называется вектор  равный векторному произведению вектора  на вектор силы :

                                 .

Величина момента равна величине силы на плечо h

                                    .

См. рис.5.

                 

                                             рис.5.

9) Линейная скорость точки тела вращения.

            

                                       рис.6.

   Пусть М точка тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скоростью , О – произвольная точка этой оси,  – вектор линейной скорости точки М. Тогда

                                  .

Величина линейной скорости

                  .