п.7. Исторический экскурс к вопросу о построении правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки.

   Геометрические задачи на построение с помощью циркуля и линейки зародились еще в древней Греции во времена Евклида и Платона. Еще в те времена, математики умели строить с помощью циркуля и линейки правильные треугольники, пятиугольники и квадраты.

   Более того, они умели с помощью циркуля и линейки делить угол пополам, поэтому они умели строить и правильные 6-ти, 10-ти и 15-ти угольники и все правильные n-угольники, где, ,  и , . Очень важно, что с помощью линейки проводятся только отрезки прямых, а длины отрезков измеряются с помощью циркуля, а не делений на линейке. Так, используя эти инструменты можно построить отрезок, длина которого выражается числом, полученным из 1 с помощью четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и извлечением квадратного корня. Т.е. вначале есть только отрезок, длина которого принимается за 1. Тогда можно построить отрезок, длина которого равна рациональному числу или квадратному корню из рационального числа. Далее, если отрезок длины а уже построен с помощью циркуля и линейки, то можно построить с помощью этих инструментов отрезок  длины b, если число b выражается через а с помощью арифметических действий и квадратного корня. Говорят, что такое число выражается в квадратных радикалах.

   Таким образом, с помощью циркуля и линейки можно построить отрезок, длина которого выражается в квадратных радикалах. Все это знали еще математики древней Греции. Задачу построения других правильных многоугольников (или доказательство невозможности таких построений) не могли решить в течение двух последующих тысячелетий, а решена она была немецким студентом филологического факультета Гёттингенского университета  Карлом Фридрихом Гауссом в 1796 году. В то время Гауссу было 18 лет и он разрывался между занятиями филологией и математикой и не мог сделать окончательного выбора. Решение древней задачи помогло ему сделать окончательный выбор в пользу (и на пользу) математики. Страшно даже подумать на сколько бы затормозилось развитие математики останься Гаусс филологом! До сих пор математики всего мира называют Гаусса королем математики.

   Однако, вернемся к обсуждаемой задаче. Сначала Гаусс доказал, что с помощью циркуля и линейки можно построить только такие отрезки, длины которых выражаются в квадратных радикалах и только они. Гаусс использовал для решения задачи комплексные числа, в частности, корни из единицы. Так как корни из 1 делят окружность на равные дуги, то задача построения правильного n-угольника сводится к вопросу: при каких n корни n-й степени из 1 выражаются в квадратных радикалах. Здесь имеется ввиду их действительные и мнимые части. Таким образом, геометрическая задача была сведена к чисто алгебраической.

   Обозначим через  длину стороны правильного n-угольника. Гаусс нашел способ, с помощью которого ему удалось выразить число  в квадратных радикалах и тем самым доказать, что с помощью циркуля и линейки можно построить правильный n-угольник.

   Но Гаусс не был бы Гауссом, если бы он остановился на этом. Позднее он решил задачу полностью, выяснив при каких n задача построения правильного n-угольника может быть решена, а при каких нет. Чтобы понять этот результат нам понадобится одно определение.

Определение. Числа вида

                            ,

где  или , называются числами Ферма.

При , получаем . Далее,

, , , .

   Первые пять чисел Ферма являются простыми числами, т.е. не имеют натуральных делителей, кроме 1 и самого себя. Однако, до сего момента не известно более ни одного простого числа Ферма. Более того, неизвестно, существует ли еще хотя бы одно простое число Ферма и эта проблема еще ждет своего юного гения.

   Гаусс доказал следующую теорему.

Теорема. С помощью циркуля и линейки построить правильный n-угольник можно тогда и только тогда, когда

                                ,

где  или , а  – различные между собой простые числа Ферма.

Замечание. Теорема утверждает только принципиальную возможность построения правильного n-угольника. Поэтому оставалась задача выразить сторону р-угольника в квадратных радикалах для оставшихся известных простых чисел Ферма  и . Для числа 257 эту задачу решил немецкий математик Фридрих Ришелло. Решение занимает 80 страниц текста. Случай числа 65537 был выполнен О.Гермесом, который потратил на вычисления 10 лет, а сама работа не опубликована ввиду ее необъятных размеров и хранится в архивах Гёттингенсного университета. Интересно, можно ли составить программу для компьютера для решения этой задачи?

   Гаусс очень ценил эту свою первую математическую работу и перед смертью просил высечь на своей могильной плите правильный 17-ти угольник. Увы, это не было сделано. Но в городе Брауншвейге стоит на 17-ти угольном постаменте памятник Карлу Фридриху Гауссу – королю математики.

   Прошло всего 10 дней, а юный Карл Гаусс получил свой самый выдающийся результат, доказав квадратичный закон взаимности. Эту теорему многие математики считают одной из самых красивейших теорем математики.

Теорема. Для любых двух нечетных простых чисел р и q верно равенство

                        ,

где  и  символы Лежандра.