Построение гиперболы. Эксцентриситет гиперболы. Равнобочная гипербола.
п.5. Построение гиперболы.
Строим основной прямоугольник гиперболы и проводим его диагонали. Продолжая диагонали прямоугольника за его пределы, получаем асимптоты гиперболы.
В силу симметрии достаточно построить гиперболу в первой четверти, где она является графиком функции
Учитывая, что данная функция является возрастающей на промежутке , при
и ее график приближается снизу к асимптоте
, получаем:
рис.6.
Далее построенный в первой четверти график симметрично отображаем относительно оси Ох и получаем правую ветвь гиперболы. Осталось отобразить построенную правую ветвь гиперболы отобразить относительно оси Оу.
п.6. Эксцентриситет гиперболы.
По определению эксцентриситет гиперболы равен
. Зафиксируем действительную ось 2а и начнем изменять фокучное расстояние 2с. Так как
, то при этом изменяется и величина b.
1) Пусть . При этом
,
и мнимые вершины
стремятся к началу координат, асимптоты приближаются к оси Ох. Основной прямоугольник гиперболы вырождается в пределе в отрезок
, а сама гипербола вырождается в два луча на оси абсцисс:
и
.
2) Пусть . При этом
,
и мнимые вершины
стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаеются к прямым
и в пределе сливаются с ними. Гипербола вырождается в две прямые
, параллельные оси Оу.
п.7. Равнобочная гипербола.
Определение. Равнобочной гиперболой называется гипербола, экчцентриситет которой равен .
Из определения следует, что в равнобочной гиперболе и ее каноническое уравнение имеет вид
.
Действительно, , откуда
и
. Учитывая, что а и b положительные числа, получаем
.
Основной прямоугольник равнобочной гиперболы является квадратом, уравнения асимптот . Значит, асимптотами равнобочной гиперболы являются биссектрисы координатных углов, угол между которыми является прямым.
Введем новую ПДСК со старым началом координат, оси которой совпадают с асимптотами равнобочной гиперболы. Новую систему координат можно получить их старой, если одновременно повернуть старые оси координат вокруг начала координат по часовой стрелки на угол .
рис.7.
Без доказательства примем следующую теорему.
Теорема. В новой системе координат уравнение равнобочной гиперболы имеет вид
,
где .
Из теоремы следует, что если уравнение равнобочной гиперболы в новой системе координат имеет вид
, то в старой канонической системе координат ее уравнение имеет вид
, т.е.
.
Оставьте комментарий!