п.5. Построение гиперболы.

Строим основной прямоугольник гиперболы и проводим его диагонали. Продолжая диагонали прямоугольника за его пределы, получаем асимптоты гиперболы.

   В силу симметрии достаточно построить гиперболу в первой четверти, где она является графиком функции

                      .

Учитывая, что данная функция является возрастающей на промежутке , при   и ее график приближается снизу к асимптоте , получаем:

                                              рис.6.

Далее построенный в первой четверти график симметрично отображаем относительно оси Ох и получаем правую ветвь гиперболы. Осталось отобразить построенную правую ветвь гиперболы отобразить относительно оси Оу.

п.6. Эксцентриситет гиперболы.

По определению эксцентриситет гиперболы равен

. Зафиксируем действительную ось 2а и начнем изменять фокучное расстояние 2с. Так как , то при этом изменяется и величина b.

1) Пусть . При этом ,  и мнимые вершины  стремятся к началу координат, асимптоты приближаются к оси Ох. Основной прямоугольник гиперболы вырождается в пределе в отрезок , а сама гипербола вырождается в два луча на оси абсцисс:  и .

2) Пусть . При этом ,  и мнимые вершины  стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаеются к прямым  и в пределе сливаются с ними. Гипербола вырождается в две прямые , параллельные оси Оу.

п.7. Равнобочная гипербола.

Определение. Равнобочной гиперболой называется гипербола, экчцентриситет которой равен .

Из определения следует, что в равнобочной гиперболе  и ее каноническое уравнение имеет вид

                                 .

   Действительно, , откуда  и . Учитывая, что а и b положительные числа, получаем .

   Основной прямоугольник равнобочной гиперболы является квадратом, уравнения асимптот . Значит, асимптотами равнобочной гиперболы являются биссектрисы координатных углов, угол между которыми является прямым.

   Введем новую ПДСК со старым началом координат, оси которой совпадают с асимптотами равнобочной гиперболы. Новую систему координат можно получить их старой, если одновременно повернуть старые оси координат вокруг начала координат по часовой стрелки на угол .

                                            рис.7.

Без доказательства примем следующую теорему.

Теорема. В новой системе координат  уравнение равнобочной гиперболы имеет вид

                                     ,

где .

   Из теоремы следует, что если уравнение равнобочной гиперболы в новой системе координат имеет вид

, то в старой канонической системе координат ее уравнение имеет вид , т.е. .