п.1. Полярная система координат на плоскости.

Возьмем на данной плоскости произвольную точку О и назовем её полюсом. Проведем на данной плоскости из точки О направленный луч, который назовем полярным лучом. Пусть М – произвольная точка данной плоскости. Соединим точку М с полюсом отрезком прямой и назовем этот отрезок ОМ и его длину  полярным радиусом точки М. Угол поворота  полярного луча вокруг полюса против часовой стрелки до совпадения с полярным радиусом точки М назовем полярным углом точки М.

                    

                                        рис.1.

Определение. Упорядоченная пара действительных чисел  называется полярными координатами точки М.

Определение. Полярной системой координат на плоскости называется полюс и полярный луч вместе с понятием полярных координат любой точки плоскости.

Замечание. Полярные координаты однозначно определяют положение любой точки на плоскости, за единственным исключением – самого полюса. Чтобы восстановить однозначность для любой точки плоскости полагают полярные координаты полюса равными нулю:

О(0; 0). Полярный угол рассматривают в пределах одного оборота и, как в тригонометрии, поворот против часовой стрелки считают положительным, а по часовой стрелке – отрицательным. Чаще всего полагают, что полярный угол .

п.2. Связь полярной системы координат с ПДСК.

Определение. Говорят, что ПДСК на плоскости Оху стандартным образом совмещена с полярной системой координат этой же плоскости, если полюс полярной системы координат совпадает с началом координат ПДСК, а полярный луч совпадает с положительной полуосью оси абсцисс Ох.

           

                                   рис.2.

   Положим для простоты обозначений:

. Тогда в этих обозначениях имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть ПДСК на плоскости Оху стандартным образом совмещена с полярной системой координат на этой же плоскости. Тогда декартовые координаты (х, у) любой точки плоскости связаны с её полярными координатами  следующими соотношениями:

                             .                                            (1)

   Доказательство. 1-й способ. Пусть точка М лежит в первой четверти. Тогда равенства (1) следуют из прямоугольного треугольника  изображенного на рис.2. Случаи других расположений точки М оставляются читателю в качестве упражнения. Не забудьте, кроме всего прочего, рассмотреть 4 случая расположения точки М на положительных и отрицательных координатных полуосях.

2-й способ. Опишем окружность единичного радиуса с центром в точке О.

    

                                          рис.3.

Пусть N – точка пересечения единичной окружности с полярным лучом ОМ (или с его продолжением, если ). Тогда  – декартовые координаты точки N. Если , то  и формулы (1) очевидны. Пусть . Рассмотрим отношение, в котором точка О делит отрезок MN: . Воспользуемся формулами вычисления координат точки деления отрезка:

, .

Но  и , отсюда следует, что

  и , ч.т.д.

Теорема доказана.

   Из формул (1) легко выразить полярные координаты через декартовые. Действительно, возведя равенства (1) в квадрат и складывая, получаем: , откуда

                                                                        (2)

Разделив второе уравнение на первое, получим:

                                        ,                                       (3)

откуда можно найти полярный угол :

                      , если                       (4)

 или

                    , если .                   (5)

 А в какой четверти лежит полярный угол  можно определить зная знаки декартовых координат х и у.

Заметим, что если полярный угол лежит в первой или четвертой четверти: , то его можно выразить через арксинус:

         и .              (6)

Если полярный угол лежит в первой или второй четверти: , то его можно выразить через арккосинус:

 и .                     (7)

Если же если полярный угол лежит в третьей четверти: , то

.                   (8)