Полярная система координат на плоскости. Связь с ПДСК
п.1. Полярная система координат на плоскости.
Возьмем на данной плоскости произвольную точку О и назовем её полюсом. Проведем на данной плоскости из точки О направленный луч, который назовем полярным лучом. Пусть М – произвольная точка данной плоскости. Соединим точку М с полюсом отрезком прямой и назовем этот отрезок ОМ и его длину полярным радиусом точки М. Угол поворота
полярного луча вокруг полюса против часовой стрелки до совпадения с полярным радиусом точки М назовем полярным углом точки М.
рис.1.
Определение. Упорядоченная пара действительных чисел называется полярными координатами точки М.
Определение. Полярной системой координат на плоскости называется полюс и полярный луч вместе с понятием полярных координат любой точки плоскости.
Замечание. Полярные координаты однозначно определяют положение любой точки на плоскости, за единственным исключением – самого полюса. Чтобы восстановить однозначность для любой точки плоскости полагают полярные координаты полюса равными нулю:
О(0; 0). Полярный угол рассматривают в пределах одного оборота и, как в тригонометрии, поворот против часовой стрелки считают положительным, а по часовой стрелке – отрицательным. Чаще всего полагают, что полярный угол .
п.2. Связь полярной системы координат с ПДСК.
Определение. Говорят, что ПДСК на плоскости Оху стандартным образом совмещена с полярной системой координат этой же плоскости, если полюс полярной системы координат совпадает с началом координат ПДСК, а полярный луч совпадает с положительной полуосью оси абсцисс Ох.
рис.2.
Положим для простоты обозначений:
. Тогда в этих обозначениях имеет место следующая теорема.
Теорема. Пусть ПДСК на плоскости Оху стандартным образом совмещена с полярной системой координат на этой же плоскости. Тогда декартовые координаты (х, у) любой точки плоскости связаны с её полярными координатами следующими соотношениями:
. (1)
Доказательство. 1-й способ. Пусть точка М лежит в первой четверти. Тогда равенства (1) следуют из прямоугольного треугольника изображенного на рис.2. Случаи других расположений точки М оставляются читателю в качестве упражнения. Не забудьте, кроме всего прочего, рассмотреть 4 случая расположения точки М на положительных и отрицательных координатных полуосях.
2-й способ. Опишем окружность единичного радиуса с центром в точке О.
рис.3.
Пусть N – точка пересечения единичной окружности с полярным лучом ОМ (или с его продолжением, если ). Тогда
– декартовые координаты точки N. Если
, то
и формулы (1) очевидны. Пусть
. Рассмотрим отношение, в котором точка О делит отрезок MN:
. Воспользуемся формулами вычисления координат точки деления отрезка:
,
.
Но и
, отсюда следует, что
и
, ч.т.д.
Теорема доказана.
Из формул (1) легко выразить полярные координаты через декартовые. Действительно, возведя равенства (1) в квадрат и складывая, получаем: , откуда
(2)
Разделив второе уравнение на первое, получим:
, (3)
откуда можно найти полярный угол :
, если
(4)
или
, если
. (5)
А в какой четверти лежит полярный угол можно определить зная знаки декартовых координат х и у.
Заметим, что если полярный угол лежит в первой или четвертой четверти: , то его можно выразить через арксинус:
и
. (6)
Если полярный угол лежит в первой или второй четверти: , то его можно выразить через арккосинус:
и
. (7)
Если же если полярный угол лежит в третьей четверти: , то
. (8)
Оставьте комментарий!