п.1. Построение поля комплексных чисел.

   Пусть  – декартов квадрат поля действительных чисел, т.е.  – множество упорядоченных пар действительных чисел. Определим на этом множестве две внутренние бинарные алгебраические операции – сложение и умножение по следующим правилам:  положим по определению

(1)              

(2)            .

Очевидно, что сумма и произведение двух пар из  снова есть пара из множества , т.к. сумма, произведение и разность действительных чисел есть действительные числа. Таким образом,  – алгебраическая структура с двумя внутренними бинарными алгебраическими операциями.

Теорема.  – поле.

   Доказательство. Последовательно проверяем выполнение всех девяти аксиом поля.

1. Закон ассоциативности относительно сложения:

             .

   Пусть . Тогда по определению сложения пар  и .

С другой стороны,  и .

Так как R поле, то сложение действительных чисел подчиняется закону ассоциативности и поэтому  и . Отсюда следует равенство пар , а отсюда следует, в свою очередь, равенство , ч.т.д.

2. Существование нулевого элемента:

             .

   Обозначим , где 0 – нулевой элемент поля действительных чисел, т.е. число нуль. Пусть  – произвольная пара из . Тогда по определению сложения пар  и . Следовательно,  и пара  есть нулевой элемент относительно операции сложения, существование которого и требовалось доказать.

3. Существование противоположного элемента:

          .

   Пусть  – произвольная пара из .

Покажем, что противоположным элементом является пара

. Действительно, по определению

сложения пар имеем:

 и . Отсюда следует равенство , ч.т.д.

4. Закон коммутативности относительно сложения:

                     .

   Пусть  – две произвольные пары. Тогда по определению сложения пар имеем:

 и . Так как R – поле, то в нем выполняется закон коммутативности сложения и , , откуда следует равенство пар:  и , ч.т.д.

5. Закон ассоциативности относительно умножения:

                    .

   Пусть . Тогда по определению умножения пар

,  и

.

.

В результате получились равные пары. Следовательно, , ч.т.д.

6. Существование единичного элемента:

             .

   Положим по определению  и покажем, что  – единичный элемент относительно умножения. Пусть . Тогда по определению умножения пар , . Таким образом, , ч.т.д.

7. Существование обратного элемента:

          .

   Пусть  и , т.е. числа а и b одновременно не равны нулю, а значит . Положим по определению  и покажем, что этот элемент удовлетворяет равенству . Действительно, по определению умножения пар

,

. Таким образом, мы проверили выполнение равенства , ч.т.д.

8. Закон коммутативности относительно умножения:

                     .

      Пусть  – две произвольные пары. Тогда по определению умножения пар

, . Так как R – поле, то умножение и сложение действительных чисел подчиняется закону коммутативности и

, , откуда и следует равенство , ч.т.д.

9. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:

        и .

   Пусть . Тогда по определению сложения и умножения пар

,

. Здесь мы воспользовались законом дистрибутивности умножения относительно сложения, которому подчиняются действительные числа. Аналогично,

,  и

. Отсюда мы видим, что .

   Для доказательства второго закона дистрибутивности воспользуемся только что доказанным законом дистрибутивности и законом коммутативности относительно умножения, который мы тоже уже доказали:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Определение. Поле  называется полем комплексных чисел, а его элементы – упорядоченные пары действительных чисел, называются комплексными числами.