Параметрические и канонические уравнения прямой

Опубликовано: 15 июня 2009.

п.3. Параметрические и канонические уравнения прямой.

Определение. Любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой называется ее направляющим вектором.

   Пусть L – произвольная прямая и  – ее произвольная, но фиксированная точка, О – начало координат,  – произвольная (текущая) точка прямой L,  – радиус вектор точки ,  – радиус вектор текущей точки М,  – произвольный направляющий вектор прямой L.

          

                                        рис.5.

Теорема. Следующая система уравнений является параметрическими уравнениями прямой:

                              ,   ,                             (7)

где  – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой,  – соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой, t – параметр.

   Доказательство. В соответствии с определением уравнения любого множества точек координатного пространства, мы должны доказать, что уравнениям (7) удовлетворяют все точки прямой L и, с другой стороны, не удовлетворяют координаты точки не лежащей на прямой.

   Пусть произвольная точка . Тогда векторы  и  являются по определению коллинеарными и по теореме о коллинеарности двух векторов следует, что один из них линейно выражается через другой, т.е. найдется такое число , что . Из равенства векторов  и  следует равенство их координат:

, , , ч.т.д.

   Обратно, пусть точка . Тогда  и по теореме о коллинеарности векторов ни один из них не может быть линейно выражен через другой, т.е.   и хотя бы одно из равенств (7) не выполняется. Таким образом, уравнениям (7) удовлетворяют координаты только тех точек, которые лежат на прямой L и только они, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие. Следующая система уравнений является уравнениями прямой:

                      .                               (8)

   Доказательство. Выразив параметр t из уравнений (7), получаем:

            , , ,                          (9)

 откуда и следуют уравнения (8). Ясно, что системы уравнений (7) и (8) равносильны, т.е. их множества решений совпадают и система (8), так же как и система (7), являются уравнениями прямой, ч.т.д.

Следствие доказано.

Определение. Уравнения (8) называются каноническими уравнениями прямой.

Замечание. Уравнения (8) отражают факт коллинеарности векторов . Два вектора коллинеарные тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. При этом, одна или две координаты направляющего вектора прямой могут быть равны нулю и в канонических уравнения прямой нули появляются в знаменателе. Это лишь означает, как это следует из уравнений (7), что числитель такой дроби тоже равен нулю, т.е. равны нулю соответствующие координаты коллинеарных векторов.

   Заметим также, что модуль направляющего вектора задает масштаб на прямой L, а его направление задает на прямой L положительное направление.

   Иначе говоря, задание направляющего вектора прямой определяет на этой прямой ДСК, т.е превращает ее в числовую прямую с началом координат в точке , которая соответствует значению . Числовая координата t произвольной точки М этой оси определяется из равенств (9). И наоборот, любое числовое значение t определяет с помощью уравнений (7) точку на этой прямой .

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru google.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!

Яндекс.Метрика