п.3. Отношение порядка следования на множестве.

   Пусть М произвольное конечное множество, т.е. состоящее из конечного числа элементов. Допустим, что мы хотим выписать все его элементы. Какой элемент выписать первым? Какой – вторым? И так далее. Ясно, что если число элементов данного множества больше одного, то это можно сделать различными способами. Например, . Тогда все три элемента этого множества можно выписать шестью различными способами: 1, 2, 3 или 1, 3, 2 или 2, 1, 3 или 2, 3, 1 или 3, 1, 2 или 3, 2, 1. Если мы выбираем один какой-то способ, то тем самым мы упорядочиваем множество, т.е. вводим на множестве отношение порядка следования.

   Пусть множество М состоит из n элементов. Выпишем все его элементы в каком-нибудь порядке. Для этого пронумеруем все элементы натуральными числами от 1 до n. Обозначим через  первый элемент, через  второй элемент и т.д. Получаем: . Теперь мы можем сказать, что элемент  предшествует элементу , или элемент  следует за элементом . И, вообще, для любых элементов  мы можем сказать, что если , то  предшествует элементу  или элемент  следует за элементом .

Определение. Пусть М произвольное множество, не обязательно конечное. Говорят, что на множестве М определено отношение строгого линейного порядка следования элементов, если выполняются следующие свойства.

1. Для любых двух различных его элементов указано какой из этих элементов следует за другим (предшествует другому).

2. Свойство транзитивности. Пусть . Если элемент а предшествует элементу b (b следует за а), а элемент b предшествует элементу с (с следует за b), то элемент а предшествует элементу с (с следует за а).

3. Никакие два различных элемента не могут одновременно предшествовать друг другу (следовать друг за другом).

п.4. Порядок следования точек прямой. Определение оси.

   На любой прямой можно естественным образом установить (причем только двумя способами) строгий линейный порядок следования ее точек. Грубо говоря, слева направо или наоборот, см. ниже рисунки 1 и 2.

                                                                                  L

             |                            |                                                   

           А                        В

                                          рис.1.

                                                                                  L

             |                            |                                                   

           В                        А

                                          рис.2.

   В обоих случаях точка А предшествует точке В, соответственно точка В следует за точкой А. Геометрически порядок следования точек на прямой L изображается с помощью стрелки.

Определение. Если на прямой выбран один (из двух возможных) порядок следования точек, то говорят, что на прямой выбрано положительное направление.

Определение. Прямая, на которой выбрано положительное направление называется осью.

Определение. Мы будем говорить, что вектор  коллинеарен оси L и писать , если вектор  лежит на оси L или лежит на прямой, параллельной оси L.