Задача 7. Найти расстояние от данной точки  до данной прямой .

   Решение. Задача решается аналогично предыдущей.

          

                                            рис.14.

. Так как , то

                                .

   Аналогично вводятся понятия невязки точки относительно прямой и отклонения точки от прямой.

Определение. Пусть дано произвольное общее уравнение прямой  и произвольная точка плоскости . Число

                  

называется невязкой точки  относительно прямой L.

Определение. Величина

          

называется отклонением точки  от плоскости .

   Если привести уравнение прямой к нормальному виду:

                     ,

,

, причем знак плюс берется в случае, когда  и минус, в противном случае, то формула расстояния от точки до прямой принимает вид:

                 ,

               

– отклонение точки  от прямой L.

Задача 8. Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями.

   Решение. 1-й способ. Найти на одной плоскости произвольную точку и найти расстояние от нее до второй плоскости, т.е. свести эту задачу к задаче 6.

   2-й способ. Приведем оба уравнения параллельных плоскостей к нормальному виду:

,

где  и  – нормальные векторы плоскостей  и  соответственно, ,  – расстояния от начала координат до плоскостей  и  соответственно.

 Так как нормальные векторы  и  направлены от начала координат к плоскости, то возможны 2 случая:

а) . На следующем рисунке схематически изображены две параллельнве плоскости  и  и их единичные нормальные векторы, отложенные от начала координат О.

                       

                                           рис.15.

Здесь, ,  – расстояния от начала координат до соответствующих плоскостей. Так как неизвестно, какая плоскость ближе к началу координат, то расстояние между плоскостями

                          .

б) . Так как нормальные векторы  и  направлены от начала координат к плоскостям и противоположны,то начало координат находится между плоскостями, см. следующий рисунок.

                      

                                          рис.16.

Здесь, как и в предыдущем случае, ,  – расстояния от начала координат до соответствующих плоскостей. Отсюда следует, что расстояние между плоскостями

                          .

Задача 9. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми.

   Решение. Задача аналогична предыдущей.

 1-й способ. Найти на одной прямой произвольную точку и найти расстояние от нее до второй прямой, т.е. звдвча сводится к задаче 7.

   2-й способ. Приведем оба уравнения параллельных прямых к нормальному виду:

, ,

где  и  – нормальные векторы прямых  и  соответственно, ,  

– расстояния от начала координат до прямых  и  соответственно. Далее как в предыдущей задаче.

а) Если , то .

б) Если , то .

Задача 10. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве.

   Решение. Пусть уравнения параллельных прямых даны в канонической форме

,  , где  – их общий направляющий вектор, ,  – точки на этих прямых.

         

                                              рис. 17.

Треугольник  прямоугольный и

            .

Так как , то направление вектора  не играет роли, лишь бы он был коллинеарный данным параллельным прямым. Далее,

              , откуда

        .

Задача 11. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве.

Решение. Пусть дана точка  и прямая

                ,

где  – точка на прямой L и  – ее направляющий вектор.

   Через точку  проведем плоскость .

           

                                           рис.18.

Пусть А – точка встречи прямой L с плоскостью . Тогда искомое расстояние

   .

Осталось найти координаты точки встречи А прямой L с плоскостью .