Задача 1. Найти уравнение прямой, проходящей через две заданные точки  и .

   Эта задача нами уже решена,

задача 1:

                        .

Задача 2. Найти угол между двумя прямыми

         и .

   Эта задача была решена в лекции 11, параграф 4:

Искомый угол равен либо углу между их направляющими векторами

,

или .

Задача 3. Найти общее уравнение плоскости, если известны координаты ее нормального вектора  и координаты точки , лежащей на данной плоскости.

Решение. Одно решение этой задачи приведено в параграфе 2, формула (8).

                   ,                 (8)

   Это же уравнение можно получить и по другому. Общее уравнение плоскости имеет вид

                              ,

 где  – координаты ее нормального вектора. Осталось найти коэффициент D. С этой целью подставим в уравнение координаты точки : , откуда .

Подставляя в уравнение получаем:

                     

                    

– искомое уравнение плоскости.

Задача 4. Найти уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ,  и .

   Решение.

      

                                         рис.11.

Как мы видели в задаче 3, для составления общего уравнения плоскости достаточно знать координаты ее нормального вектора  и координаты любой точки, лежащей на данной плоскости.

   В качестве нормального вектора плоскости можно взять векторное произведение вектора  на вектор , а в качестве точки, лежащей на плоскости можно взять точку . Получаем

                     ,

где .

   Искомое уравнение плоскости можно получить и в другом виде. Уравнение плоскости в векторной форме имеет вид

                                     ,

 откуда

                        

                          .

Задача 5. Найти угол между двумя плоскостями.

Решение. Из геометрии нам известно, что двугранный угол между двумя плоскостями измеряется линейным углом  (см. рис.12).

  

                                              рис.12.

   Нетрудно видеть, что линейный угол , измеряющий двугранный угол между двумя плоскостями равен углу  между нормальными векторами этих плоскостей или равен . Здесь используется признак равенства углов со взаимно перпендикулярными сторонами.

   Итак,

                  или .

   Таким образом, задача вычисления угла между плоскостями сводится к задаче вычисления угла между векторами.

Задача 6. Найти расстояние от заданной точки  до заданной плоскости

                              .

   Решение. Выберем произвольную точку , лежащую на данной плоскости. Заметим, что если , то начало координат лежит на плоскости и его можно взять в качестве точки . Если же , то в качестве такой точки можно взять точку пересечения плоскости с одной из координатных осей. Так как плоскость не может быть параллельной всем трем координатным осям, то хотя бы одна координатная ось пересекает данную плоскость.

   Пусть, например,   – точка пересечения плоскости с координатной осью Ох. Здесь , если .

              

                                                 рис.13.

   Итак, пусть точка  тем или иным способом выбрана, тогда расстояние  от заданной точки  до заданной плоскости  равно модулю проекции вектора  на нормальный вектор плоскости :

  

            .

Так как , то эту формулу можно записать в виде

                        .                        (14)

Определение. Пусть дано произвольное общее уравнение плоскости  и произвольная точка пространства . Число

                  

называется невязкой точки  относительно плоскости .

   С помощью введенного понятия невязки, формула расстояния от точки до плоскости иожет быть записана в виде:

                          .

Определение. Величина

                      (15)

называется отклонением точки  от плоскости .

Из последнего определения следует, что расстояние от точки  до плоскости  равно модулю отклонения точки  от плоскости :

                        .                                (16)

Из формулы (21) видно, что отклонение и невязка имеют одинаковый знак.

Замечание. Формулы (14) – (16) можно записать в другом виде. Приведем данное уравнение плоскости к нормальному виду:

                     ,

где ,

, причем знак плюс берется в случае, когда  и минус, в противном случае.

   Теперь, формула (14) расстояния от точки до плоскости принимает вид:

                 ,                   (17)

                           (18)

– отклонение точки  от плоскости .