Основная теорема векторной алгебры.


п.6. Основная теорема векторной алгебры.

   Вспомним, что  ортом оси L называется единичный вектор, сонаправленный с ней.

   Пусть Охуz – ПДСК и векторы  – орты осей Ох, Оу и Оz соответственно. Тогда упорядоченная тройка векторов  является ортонормированным базисом пространства векторов  и любой вектор  может быть разложен по этому базису: . Здесь, упорядоченную тройку действительных чисел  мы назвали координатами вектора  относительно базиса .

   С другой стороны, обозначим , ,  – проекции вектора  на координатные оси. Упорядоченную тройку действительных чисел  мы назвали декартовыми координатами вектора .

Теорема. (Основная теорема векторной алгебры.)

Декартовые координаты вектора совпадают с его координатами относительно ортонормированного базиса .

   Доказательство. Пусть  – разложение вектора  по базису .

   Поскольку декартовые координаты вектора не зависят от выбора точки его начала, то отложим вектор  от начала координат, так что  и через точку М проведем 3 плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с координатными осями обозначим А, В и С соответственно.

          

                                         рис.10.

   По построению, точки А, В и С являются проекциями точки М на координатные оси и по определению проекции вектора на ось имеем:

                   ,                             (7)

где знак плюс берется в случае, когда  и знак минус в противном случае. Аналогично, , .

   По правилу сложения векторов получаем разложение вектора  по базису :

            ,

                   , , .                 (8)

   Мы докажем теорему, если докажем равенства:

                       .                             (9)

   По определению умножения вектора на скаляр из равенства (8) имеем:

                           ,

 причем  при  и  в противном случае.

   С другой стороны, из равенства (7) следует, что , и  при  и  в противном случае.

   Так как , то отсюда следует, что числа  и  имеют одинаковый знак и равны по модулю, т.е. равны и , ч.т.д.

   Аналогично доказываются остальные равенства (9).

Теорема доказана.

Замечание. В дальнейшем мы будем молчаливо предполагать, что векторы ортонормированного базиса  в пространстве или  на плоскости являются ортами соответствующих координатных осей ПДСК, а поэтому мы не будем различать декартовые координаты вектора и координаты этого же вектора относительно ортонормированного базиса  и будем говорить просто о координатах вектора.

   Таким образом, в силу основной теоремы векторной алгебры, координатная форма записи вектора равносильна записи этого же вектора в виде линейной комбинации базисных векторов:

                   .                     (10)

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru google.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!

Яндекс.Метрика