п.5. Ориентация вектора, лежащего на оси. Сонаправленные и противоположно направленные векторы.

   Пусть L произвольная ось и вектор , лежит на оси L. Может быть два случая, см. рисунки 3 и 4:

                                  

                                    А                         В                 L

                                     |                          |                       

                                           рис. 3.

                                                                                  L

                                     |                          |                      

                                     В                        А

                                               рис. 4.

В одном случае (рис.3) начало вектора – точка А предшествует концу вектора, точке В, а во втором случае наоборот, начало вектора следует за его концом.

Определение. Вектор, лежащий на оси, называется сонаправленным с осью, если его начало предшествует его концу (конец вектора следует за его началом).

   В противном случае (как на рис.4) говорят, что вектор и ось имеют противоположные направления.

   Если вектор  сонаправлен с осью L, то этот факт мы будем обозначать так: . Если вектор  и ось L имеют противоположные направления, то .

Определение. Вектор , лежащий на оси L, называется правоориентированным, если  и называется левоориентированным, если .

   На рис.3 вектор  правоориентирован на оси L, а на рис.4 – левоориентирован.

Определение. Два вектора, лежащие на одной прямой называются сонаправленными, если при любом выборе положительного направления на этой прямой оба вектора будут иметь одинаковую ориентацию. В противном случае векторы называются противоположно направленными.

Обозначение.  – векторы  и  сонаправленные,  – векторы  и  имеют противоположные направления (противоположно направлены).

   Пусть теперь два вектора  и  лежат на параллельных прямых. Тогда обе прямые лежат в одной плоскости. Проведем секущую АС (Через начала векторов). При этом возможны два случая. См. рисунки 5 и 6:

                      А                           В                             а

                               С                            D                   b

 

                                      рис. 5.

                      А                           В                             а

 

 

             D                  C                                                 b

                                      рис. 6.

Секущая АС, проведенная через начала обоих векторов делит плоскость, в которой лежат обе параллельные прямые а и b, на две полуплоскости. В первом случае (рис.5) концы векторов лежат в одной полуплоскости, а во втором случае (рис.6) – в разных полуплоскостях.

Определение. Два вектора, лежащие на параллельных прямых, называются сонаправленными, если их концы лежат в одной полуплоскости относительно прямой, проведенной через их начала. В противном случае говорят, что векторы имеют противоположные направления (противоположно направлены).

Обозначения сонаправленных векторов здесь такое же, как и в случае, когда оба вектора лежат на одной прямой:

 – векторы  и  сонаправленные,  – векторы  и  имеют противоположные направления (противоположно направлены).

Определение. Пусть а и b две параллельные оси. На каждой оси возьмем по одному правоориентированному вектору. Если эти векторы сонаправленные, то данные оси называются сонаправленными. В противном случае говорят, что оси имеют противоположные направления.

Обозначения для сонаправленных и противоположно направленных осей такое же, как и для векторов.