п.3. Уравнение прямой в отрезках.

   Пусть ни один из коэффициентов А, В, С общего уравнения прямой

                              ,

 не равен нулю. Перенесем свободный член С в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на (– С):

                                .

Обозначим . Тогда последнее уравнение можно записать в виде:

                                            .                                 (8)

Определение. Уравнение вида (8) называется уравнением прямой в отрезках.

Для построения прямой достаточно взять две точки на этой прямой. Для построения прямой в отрезках удобно найти ее точки пересечения с координатными осями:

М(а, 0) – точка пересечения прямой (8) с осью Ох и

N(0, b) – точка пересечения прямой (8) с осью Оу.

        

                                                рис.3.

Говорят, что прямая отсекает от координатных осей отрезки ОМ и ОN величина которых равна числам а и b соответственно.

Замечание. Под величиной отрезка ОА здесь понимается не его длина , а координата точки М, т.е. число а. Аналогично, величина отрезка ОN равна числу b.

Пример. Построить прямую .

Решение. Запишем данное уравнение прямой в виде уравнения прямой в отрезках. Для этого перенесем коэффициент – 6 в правую часть уравнения:

 и разделим обе части уравнения на 6:

. После сокращения получаем:

                               .

Данная прямая отсекает от оси Ох отрезок величина которого равна 3, а от оси Оу – отрезок, величина которого равна  –2.

   Откладываем на оси Ох точку с координатой 3, а на оси Оу откладываем точку с координатой –2 и проводим через эти точки прямую:

              

                                        рис.4.

п.4. Неполные уравнения прямой на плоскости.

Определение. Уравнение

                                                                     (2)

 называется неполным уравнением прямой на плоскости, если хотя бы один из его коэффициентов А, В, С равен нулю.

   Если коэффициент , , то из уравнения (2) следует . Это уравнение прямой, параллельной оси Оу, отсекающей от оси Ох отрезок величиной а.

Если коэффициент ,  то из уравнения (2) следует . Это уравнение прямой, параллельной оси Ох, отсекающей от оси Оу отрезок величиной b.

              

                                       рис.5.

Если , то уравнение (2) принимает вид

                                .                                          (9)

Ясно, что эта прямая проходит через начало координат.

   Если в уравнении (9) коэффициент , то отсюда получаем . Обозначив через , получаем уравнение, которое носит название уравнения прямой с угловым коэффициентом  , которое изучалось в школьном курсе алгебры.

   Если в уравнении (9) , то  и, сокращая на А, получаем уравнение оси Оу:  .

   Если в уравнении (9) , то  и, сокращая на В, получаем уравнение оси Ох: .

   Подведем итог исследования общего уравнения прямой

                                                                     (2)

1) Если , то уравнение (2) может быть записано в виде уравнения прямой в отрезках:

                                           

– прямая, отсекающая от осей координат отрезки величиной а и b соответственно.

2) Если , то уравнение может быть записано в виде:

                                           

– прямая параллельная оси Ох и отсекающая от оси Оу отрезок величины b.

3) Если , то уравнение может быть записано в виде:

                                           

– прямая параллельная оси Оу и отсекающая от оси Ох отрезок величины а.

4) Если , то уравнение прямой имеет вид

                                            

– прямая совпадает с осью Ох.

5) Если , то уравнение прямой имеет вид

                                           

– прямая совпадает с осью Оу.

6) Если , то уравнение может быть записано в виде:  – уравнение прямой с угловым коэффициентом.