Многочлен деления круга

Опубликовано: 9 мая 2009.

п.6. Многочлен деления круга.

Определение. Многочлен

                       

называется многочленом деления круга.

Теорема. Все корни многочлена

                       

являются корнями степени из 1.

   Доказательство. Рассмотрим многочлен деления круга как сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем х. Тогда

              .

Теорема доказана.

   Так как корни из 1 делят единичную окружность на n равных дуг, то из теоремы следует, что все корни многочлена  вместе с 1 делят окружность на равные дуги, откуда и произошло название этого многочлена.

   Поставим задачу разложить многочлен деления круга на неприводимые (неразложимые) множители с действительными коэффициентами.

   Известно (см. Дополнение 6), что любой многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде:

            

                 ,                (12)

где – все различные действительные корни многочлена , m – их число,  – их кратности, t – число квадратных трехчленов с действительными коэффициентами  и отрицательными дискриминантами,  – кратности соответствующих комплексных корней,  – старший коэффициент многочлена , n – его степень.

   Замечание. Линейных множителей может и не быть. Тогда  и многочлен не имеет действительных корней. Аналогично, многочлен может не иметь комплексных корней, тогда . Далее, очевидно, что степень многочлена

                         .                                 (13)

Из последнего равенства вытекает следующее следствие.

Следствие. Любой многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

   Легко получить разложение (12), если известны все корни многочлена f(x). Тогда многочлен раскладывается над полем комплексных чисел на линейные множители. Так как коэффициенты многочлена f(x) предполагаются действительными, то если многочлен имеет комплексный корень , то комплексно сопряженное ему число  также является корнем этого многочлена. Действительно, если , то .

   Разложение многочлена f(x) на линейные множители будет иметь вид:

             

    ,                    (14)

где – все различные действительные корни многочлена , m – их число,  – их кратности,  – все различные комплексно сопряженные корни многочлена , t – число пар всех различных комплексно сопряженных корней,  – их кратности,  – старший коэффициент многочлена , n – его степень.

   Теперь, перемножим пару линейных множителей содержащие комплексно сопряженные корни. Пусть

                   .

Тогда , откуда и получаем:

.

Проделав то же самое со всеми парами комплексно сопряженных корней, из разложения (14) получим разложение (12).

   Осталось заметить, что все корни многочлена деления круга различны и их легко вычислить и, следовательно, получить разложение на линейные множители.

Пример. Разложить на неприводимые множители с действительными коэффициентами (т.е. на полем R) многочлен .

Решение. Решим уравнение . Так как

, то найдя все корни уравнения , мы найдем тем самым все корни многочлена .

   Имеем, , где

.

          

                                         рис.4.

   Вычисляя остальные корни по формуле

          ,

, получаем (см. рис.4):

; ;

; .

Отсюда,   и

, т.к. , , ,

.

Ответ: .

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru google.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!

Яндекс.Метрика