п.4. Линейные операции с векторами в координатной форме записи.

   Пусть – базис пространства  и  – два его произвольных вектора. Пусть  и  – запись этих векторов в координатной форме. Пусть, далее, – произвольное действительное число. В этих обозначениях имеет место следующая теорема.

Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатной форме.)

1) ;

2) .

Другими словами, для того, чтобы сложить два вектора нужно сложить их соответствующие координаты, а чтобы умножить вектор на число, нужно каждую координату данного вектора умножить на данное число.

   Доказательство. Так как по условию теоремы , , то используя аксиомы векторного пространства, которым подчиняются операции сложения векторов и умножения вектора на число, получаем:

    

          .

Отсюда следует .

Аналогично доказывается второе равенство.

Теорема доказана.

п.5. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис.

Определение. Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен прямому углу, т.е. .

Обозначение:  – векторы  и  ортогональны.

Определение. Тройка векторов  называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны друг другу, т.е. , .

Определение. Тройка векторов  называется ортонормированной, если она ортогональная и длины всех векторов равны единице: .

Замечание. Из определения следует, что ортогональная и, следовательно, ортонормированная тройка векторов является некомпланарной.

Определение. Упорядоченная некомпланарная тройка векторов , отложенных от одной точки, называется правой (правоориентированной), если при наблюдении с конца третьего вектора  на плоскость, в которой лежат первые два вектора  и , кратчайший поворот первого вектора  ко второму  происходит против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой (левоориентированной).

                 

                                    рис.6.

Здесь, на рис.6 изображена правая тройка векторов . На следующем рис.7  изображена левая тройка векторов :

                    

                                          рис.7.

Определение. Базис  векторного пространства  называется ортонормированным, если  ортонормированная тройка векторов.

Обозначение. В дальнейшем мы будем пользоваться правым ортонормированным базисом , см. следующий рисунок:

                     рис.9.

Любой вектор можно разложить по этому базису:

          .