Квадратный корень из комплексного числа
п.6. Извлечение квадратного корня из комплексного числа. Формула квадратных корней из комплексного числа.
В дальнейшем нам понадобится одна числовая функция:
обозначим
.
Эту функцию называют знаком числа х и читается она так: "сигнум икс".
Теорема. Пусть . Тогда
(7) , где квадратные корни в скобках являются арифметическими квадратными корнями из положительных чисел.
Доказательство. Как мы уже выяснили существует ровно два квадратных корня из комплексного числа, причем они являются противоположными числами. Пусть , где
. Тогда
или
. Возведем в квадрат левую часть этого равенства и воспользуемся условиями равенства двух комплексных чисел. Получаем:
(8) .
Возведем в квадрат каждое уравнение этой системы: . Прибавим второе уравнение к первому:
.
Здесь – обычный арифметический квадратный корень из положительного действительного числа. Далее, если полученная система имеет решение, то по обратной теореме Виета
и
являются корнями квадратного уравнения
. Находим дискриминант
. Отсюда
. Оба корня квадратного уравнения оказываются положительными, т.к., очевидно,
. При выборе корней учитываем равенства (8), а именно
. Отсюда следует, что
и
. Осталось правильно выбрать знаки перед знаками радикалов. Из равенств (8) следует, что
. Положим
, тогда
, откуда и следует доказываемая формула. Теорема доказана.
Пример. Вычислить .
Решение. Используем только что доказанную формулу корней. Здесь . Подставляем в формулу и получаем:
.
Ответ: .
Замечание. Можно не запоминать формулу (7) ввиду ее громоздкости, а при решении использовать алгоритм доказательства теоремы. Решим таком образом предыдущий пример.
Пусть . Тогда
. Это возможно лишь тогда равны вещественные и мнимые части обоих комплексных чисел:
. Возводим оба уравнения системы в квадрат:
. Прибавляем второе уравнение к первому:
. Применяем обратную теорему Виета:
. Решаем квадратное уравнение:
. Так как
, то
. Принимаем
. Так как
, то
. Получили один из двух корней:
. Второй корень противоположен первому.
Ответ: .
Конечно, этот способ, в отличие от первого, занимает у нас некоторое время, но зато алгоритмы запоминаются лучше, нежели формулы.
Нам будет интересен частный случай формулы (7), когда мнимая часть числа z равна нулю.
Следствие. Пусть – произвольное действительное число. Тогда имеет место следующая формула:
(9) .
Доказательство очевидно, достаточно подставить в формулу (7) и вспомнить, что арифметический квадратный корень из квадрата действительного числа равен его модулю:
.
Теперь, если , то формула (9) дает оба корня из положительного действительного числа а:
.
Не будем забывать, что квадратный корень в левой части формулы (9) обозначает все множество корней из комплексного числа , а квадратные корни в правой части формулы (9) обозначают арифметические квадратные корни из неотрицательных действительных чисел. Обозначение одно и то же, с помощью знака радикала, а смысл различный.
Пусть теперь . Тогда
и формула (9) дает равенство:
. Здесь
– арифметический квадратный корень из положительного числа
.
Случай очевиден:
.
Интерес представляет случай корня квадратного из отрицательного числа. Сформулируем этот случай отдельно в виде следствия.
Следствие. Пусть и
. Тогда оба квадратных корня из числа z могут быть найдены по формуле:
(10) .
Примеры: ,
,
.
Замечание. Обратите внимание на последнее равенство:
.
Это верное равенство, т.е. по определению есть множество всех корней из числа –1, в то время как равенство
неверное, с этой точки зрения! Именно поэтому нельзя переносить свойства корней из действительных чисел на корни из комплексных чисел, как показывает следующий простой пример.
Пример. Найдите ошибку в следующих преобразованиях:
.
С другой стороны, легко доказать следующую теорему.
Теорема. (О вынесении действительного множителя из под знака корня.) Пусть, n – произвольное натуральное число. Тогда
(11) ,
где есть обычный арифметический корень из положительного числа.
Доказательство. Равенство (11) здесь нужно понимать как равенство двух множеств: – множество всех корней n-й степени из комплексного числа
,
– множество всех корней n-й степени из комплексного числа z,
.
Отсюда вытекает и способ доказательства. Мы докажем, что оба множества состоят из одних и тех же элементов.
Пусть . Тогда
. Отсюда следует, что
. Обратно, Пусть
. Тогда
. Следовательно,
, ч.т.д. Теорема доказана.
Замечание. Предыдущее следствие можно вывести и из только что доказанной теоремы.
Следствие. Пусть и
Тогда
.
Доказательство. Рассматриваем отрицательное число а как комплексное число . Тогда доказываемое равенство сразу же следует из только что доказанной теоремы:
.
Пример. Вычислить .
Решение. Применим только что доказанную теорему: .
Ответ: .
Оставьте комментарий!