п.6. Извлечение квадратного корня из комплексного числа. Формула квадратных корней из комплексного числа.

   В дальнейшем нам понадобится одна числовая функция:

            обозначим .

Эту функцию называют знаком числа х и читается она так: "сигнум икс".

Теорема. Пусть . Тогда

(7)      , где квадратные корни в скобках являются арифметическими квадратными корнями из положительных чисел.

   Доказательство. Как мы уже выяснили существует ровно два квадратных корня из комплексного числа, причем они являются противоположными числами. Пусть , где . Тогда  или . Возведем в квадрат левую часть этого равенства и воспользуемся условиями равенства двух комплексных чисел. Получаем:

(8)                                .

   Возведем в квадрат каждое уравнение этой системы: . Прибавим второе уравнение к первому:

 .

Здесь  – обычный арифметический квадратный корень из положительного действительного числа. Далее, если полученная система имеет решение, то по обратной теореме Виета  и  являются корнями квадратного уравнения . Находим дискриминант . Отсюда . Оба корня квадратного уравнения оказываются положительными, т.к., очевидно, . При выборе корней учитываем равенства (8), а именно . Отсюда следует, что  и

. Осталось правильно выбрать знаки перед знаками радикалов. Из равенств (8) следует, что . Положим , тогда , откуда и следует доказываемая формула. Теорема доказана.

Пример. Вычислить .

Решение. Используем только что доказанную формулу корней. Здесь . Подставляем в формулу и получаем:

.

Ответ: .

   Замечание. Можно не запоминать формулу (7) ввиду ее громоздкости, а при решении использовать алгоритм доказательства теоремы. Решим таком образом предыдущий пример.

Пусть . Тогда . Это возможно лишь тогда равны вещественные и мнимые части обоих комплексных чисел: . Возводим оба уравнения системы в квадрат: . Прибавляем второе уравнение к первому: . Применяем обратную теорему Виета:

. Решаем квадратное уравнение: . Так как , то . Принимаем . Так как , то . Получили один из двух корней: . Второй корень противоположен первому.

Ответ: .

   Конечно, этот способ, в отличие от первого, занимает у нас некоторое время, но зато алгоритмы запоминаются лучше, нежели формулы.

   Нам будет интересен частный случай формулы (7), когда мнимая часть числа z равна нулю.

Следствие. Пусть – произвольное действительное число. Тогда имеет место следующая формула:

(9)         .

Доказательство очевидно, достаточно подставить в формулу (7)  и вспомнить, что арифметический квадратный корень из квадрата действительного числа равен его модулю: .

   Теперь, если , то формула (9) дает оба корня из положительного действительного числа а: .

   Не будем забывать, что квадратный корень в левой части формулы (9) обозначает все множество корней из комплексного числа , а квадратные корни в правой части формулы (9) обозначают арифметические квадратные корни из неотрицательных действительных чисел. Обозначение одно и то же, с помощью знака радикала, а смысл различный.

   Пусть теперь . Тогда  и формула (9) дает равенство: . Здесь – арифметический квадратный корень из положительного числа .

   Случай  очевиден: .

Интерес представляет случай корня квадратного из отрицательного числа. Сформулируем этот случай отдельно в виде следствия.

Следствие. Пусть  и . Тогда оба квадратных корня из числа z могут быть найдены по формуле:

(10)                 .

Примеры: , , .

Замечание. Обратите внимание на последнее равенство:

                                        .

Это верное равенство, т.е.  по определению есть множество всех корней из числа  –1, в то время как равенство  неверное, с этой точки зрения! Именно поэтому нельзя переносить свойства корней из действительных чисел на корни из комплексных чисел, как показывает следующий простой пример.

Пример. Найдите ошибку в следующих преобразованиях:

.

   С другой стороны, легко доказать следующую теорему.

Теорема. (О вынесении действительного множителя из под знака корня.) Пусть, n – произвольное натуральное число. Тогда

(11)                        ,

 где  есть обычный арифметический корень из положительного числа.

Доказательство. Равенство (11) здесь нужно понимать как равенство двух множеств: – множество всех корней n-й степени из комплексного числа , – множество всех корней n-й степени из комплексного числа z,

 .

Отсюда вытекает и способ доказательства. Мы докажем, что оба множества состоят из одних и тех же элементов.

Пусть . Тогда . Отсюда следует, что . Обратно, Пусть . Тогда . Следовательно, , ч.т.д. Теорема доказана.

Замечание. Предыдущее следствие можно вывести и из только что доказанной теоремы.

Следствие. Пусть  и  Тогда .

   Доказательство. Рассматриваем отрицательное число а как комплексное число . Тогда доказываемое равенство сразу же следует из только что доказанной теоремы: .

Пример. Вычислить .

Решение. Применим только что доказанную теорему: .

Ответ: .