Корни комплексных чисел
п.3. Корни из комплексных чисел.
Определение. Пусть и
. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число
, такое, что
.
Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)
Для любого ненулевого комплексного числа
, где
, существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле
где ,
– арифметический корень n-й степени из положительного числа
.
Доказательство. Обозначим
(4)
и докажем, что данное множество исчерпывает все множество корней n-й степени из комплексного числа z.
Доказательство проведем в 3 этапа. Сначала мы докажем, что все элементы множества (4) являются корнями n-й степени из комплексного числа z. Затем мы покажем, что среди корней множества (4) нет равных. И, наконец, мы покажем, что любой корень n-й степени из комплексного числа z является элементом множества (4).
1) По следствию 2 формулы Муавра
, ч.т.д.
2) Допустим, что , где
и
. Тогда по теореме о равенстве двух комплексных чисел в тригонометрической форме записи следует, что равны их аргументы.
Но, аргумент числа может отличаться от числа
на число кратное числу
(т.е. на целое число оборотов) и аналогично для аргумента числа
. Отсюда следует, что
, где
. Умножим это равенство на n:
. Отсюда следует, что
и т.к. по нашему предположению
, то
, чего не может быть, т.к.
и
. Получили противоречие. Следовательно, среди корней в множестве (10) нет равных, ч.т.д.
3) Пусть теперь комплексное число является корнем n-й степени из комплексного числа z, т.е.
. Так как
. Отсюда, из тех же соображений, что и во второй части доказательства, следуют равенства
и
, где
. Из первого равенства получаем, что
, а из второго следует
.
Далее, разделим целое число t на n с возможным остатком: , где
, а остаток r также является целым числом, но
. Отсюда
и
. Таким образом, корень
является корнем из множества корней (4), ч.т.д.
Теорема доказана.
Пример. Вычислить .
Решение. Запишем число в тригонометрической форме записи:
. Тогда
, где
,
.
Ответ: , где
,
,
.
Оставьте комментарий!