п.3. Корни из комплексных чисел.

Определение. Пусть  и . Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число , такое, что .

Теорема. (Формула корней из комплексного числа.)

Для любого ненулевого комплексного числа

, где , существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа z и все они могут быть найдены по формуле

                 ,                (3)

где ,  – арифметический корень n-й степени из положительного числа .

   Доказательство. Обозначим

                                                       (4)

и докажем, что данное множество исчерпывает все множество корней n-й степени из комплексного числа z.

Доказательство проведем в 3 этапа. Сначала мы докажем, что все элементы множества (4) являются корнями n-й степени из комплексного числа z. Затем мы покажем, что среди корней множества (4) нет равных. И, наконец, мы покажем, что любой корень n-й степени из комплексного числа z является элементом множества (4).

1) По следствию 2 формулы Муавра

, ч.т.д.

2) Допустим, что , где  и . Тогда по теореме о равенстве двух комплексных чисел в тригонометрической форме записи следует, что равны их аргументы.

   Но, аргумент числа  может отличаться от числа  на число кратное числу  (т.е. на целое число оборотов) и аналогично для аргумента числа . Отсюда следует, что , где . Умножим это равенство на n: . Отсюда следует, что  и т.к. по нашему предположению , то , чего не может быть, т.к.  и . Получили противоречие. Следовательно, среди корней в множестве (10) нет равных, ч.т.д.

3) Пусть теперь комплексное число  является корнем n-й степени из комплексного числа z, т.е. . Так как . Отсюда, из тех же соображений, что и во второй части доказательства, следуют равенства  и , где . Из первого равенства получаем, что , а из второго следует .

   Далее, разделим целое число t на n с возможным остатком: , где , а остаток r также является целым числом, но . Отсюда

 и

. Таким образом, корень  является корнем из множества корней (4), ч.т.д.

Теорема доказана.

Пример. Вычислить .

Решение. Запишем число  в тригонометрической форме записи: . Тогда

, где

, .

Ответ: , где

,

,

.