Корень натуральной степени из комплексного числа

Опубликовано: 11 апреля 2009.

п.5. Понятие корня натуральной степени из комплексного числа.

Определение. Пусть – произвольное натуральное число. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число , такое, что .

   Позже будет доказана следующая теорема, которую мы пока примем без доказательства.

Теорема. (О существовании и количестве корней n-й степени из комплексного числа.)

Существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа.

   Для обозначения корней n-й степени из комплексного числа применяют обычный знак радикала. Но есть одно существенное отличие. Если а – положительное действительное число, то  по определению обозначает положительный корень n-й степени, его называют арифметическим корнем.

   Если n – нечетное число, то существует единственный корень n-й степени из любого действительного числа а. При  этот единственный корень  является по определению арифметическим, при  этот единственный корень  не является арифметическим, но может быть выражен через арифметический корень из противоположного числа: , где  является арифметическим, т.к. .

   Если n – четное число, то существует ровно два действительных корня n-й степени из положительного числа и они являются противоположными числами, поэтому один из них положительный, его и обозначают

 и называют его арифметическим, а второй будет

отрицательным, противоположным арифметическому и

его обозначают .

   В любом случае, знак  обозначает (при условии, что это выражение имеет смысл) только одно число, один корень.

   В случае же, если  – комплексное число, то для любого натурального числа n выражение  всегда имеет смысл и обозначает все множество корней n-й степени из комплексного числа z.

Обозначение: , где  – все n корней n-й степени из комплексного числа z, так что по определению  .

   В частности, при  существуют ровно два корня из комплексного числа z и легко видеть, что, если  – квадратный корень из комплексного числа z, то , т.е. оба корня  и  являются противоположными комплексными числами, поэтому вместо записи  применяют запись .

   Заметим, что если , то . Действительно, допустив противное, мы бы имели равенство , т.е. получили бы противоречие предположению, что .

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru google.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!

Яндекс.Метрика