п.5. Числовая ось.

Пусть дана произвольная ось. Выберем и зафиксируем на этой оси произвольную точку О, которую будем называть началом координат (точкой отсчета), а саму ось будем обозначать Ох. Пусть А произвольная (текущая) точка оси Ох.

Определение. Вектор , где О – начало координат, называется радиус-вектором точки А и обозначается:

                                  .                                     (7)

Обозначим через  декартовую координату радиус-вектора :

                                   .

Определение. Координатой точки А оси Ох называется декартовая координата  её радиус-вектора .

Таким образом, из определений координаты точки оси, декартовой координаты вектора оси и проекции вектора на ось следуют равенства:

          (8)

   Изобразим на оси Ох возможные расположения точки А относительно начала координат.

               А                    О            А                          х

                                                                                         

                                          рис.13.

В одном случае, точка А следует за точкой О (радиус-вектор  точки А является правоориентированным) и из формулы (8) следует, что

                           .

В другом, точка А предшествует точке О (радиус-вектор  точки А является левоориентированным) и

                           .

   Отложим на оси Ох точку Е с координатой .

                                      О             E                          х

                                       |               |                                  

                                          рис.14

Определение. Отрезок ОЕ, где О – начало координат, а координата точки Е равна , называется масштабом на оси L.

Замечание. Выбирая масштаб на оси, мы тем самым задаем функцию расстояния на этой оси.

Определение. Прямая, на которой выбрано положительное направление, начало координат, масштаб и для каждой точки которой определена её координата, называется координатной прямой или числовой осью. Говорят также, что на прямой введена декартовая система координат.

Теорема. Между множеством точек координатной оси Ох и множеством действительных чисел R существует взаимно однозначное соответствие (биекция).

   Доказательство. Устроим отображение  по правилу: каждой точке  поставим в соответствие её координату .

   Из определения координаты точки (см. формулу (8)) следует, что каждая точка оси имеет единственную координату. Таким образом, данное правило действительно задает отображение.

   Далее, из определения координаты точки следует, что любые две различные точки имеют различные координаты, т.е. данное отображение является инъекцией.

   И, наконец, пусть  – произвольное действительное число. Отложим на оси Ох вектор  с декартовой координатой . Т.к. , то такой вектор существует для любого . Тогда .

   Следовательно, любое число является образом некоторой точки при этом отображении, т.е. отображение является сюръекцией. Отображение, которое является одновременно инъекцией и сюръекцией является биекцией, т.е. взаимно однозначным отображением, ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. В силу только что доказанной теоремы, мы можем отождествить точку числовой оси и число, которое равно ее координате.

   Поэтому после буквы обозначающей точку, в круглых скобках пишут ее координату:  и т.д.

Определение. Положительной полуосью называется та часть координатной оси, все точки которой имеют положительные координаты (все эти точки следуют за началом координат). Отрицательной полуосью называется та часть координатной оси, все точки которой имеют отрицательные координаты (все эти точки предшествуют началу координат).