п.3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Комплексная плоскость.

Пусть на плоскости введена ПДСК, тогда каждую точку плоскости можно отождествить с упорядоченной парой действительных чисел, которые являются ее координатами:  или просто .

   С другой стороны, каждое комплексное число  можно также отождествить с упорядоченной парой действительных чисел , где  – действительная часть комплексного числа z,  – мнимая часть комплексного числа z.

   Отсюда выводим, что каждое комплексное число  можно отождествить с точкой координатной плоскости.

Определение. Координатная плоскость, каждая точка которой отождествлена с комплексным числом, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс Ох называется действительной осью, Ось ординат Оу называется мнимой осью.

Замечание. Существует взаимно однозначное соответствие между точками координатной плоскости и их радиус-векторами. Поэтому также существует взаимно однозначное соответствие и между всеми комплексными числами и радиус-векторами соответствующих точек комплексной плоскости.

                    

                                      рис.4.

   Итак, чтобы изобразить комплексное число z точкой на комплексной плоскости нужно записать его в алгебраической форме записи, найти его действительную и мнимую части и построить в ПДСК на этой плоскости точку, абсцисса которой равна действительной части, а ордината – мнимой части данного комплексного числа z:

                        ,

где вектор  является радиус-вектором точки z.

   Введем на комплексной плоскости полярную систему координат стандартным образом совмещенную с ПДСК, т.е. с полюсом в начале координат и полярным лучом, совмещенным с положительной полуосью абсцисс. Тогда точка z имеет полярные координаты , где r – полярный радиус точки z, а  – ее полярный угол.

Замечание. В дальнейшем мы постоянно и молчаливо будем подразумевать, что на комплексной плоскости введена полярная система координат стандартным образом совмещенная с ПДСК и, что любое комплексное число отождествлено с точкой комплексной плоскости и имеет на этой плоскости как декартовые координаты, так и полярные.

   При такой геометрической интерпретации комплексного числа как точки на комплексной плоскости ее полярные координаты, как и декартовые, получили специальные названия и обозначения.

Определение. Модулем комплексного числа называется полярный радиус точки комплексной плоскости отождествленной с этим числом.

Определение. Аргументом комплексного числа называется полярный угол точки комплексной плоскости отождествленной с этим числом.

Обозначения:  – модуль комплексного числа z,

 – аргумент комплексного числа z.

   Таким образом, полярными координатами точки z комплексной плоскости являются модуль и аргумент комплексного числа z:

                           .

Из определений следует, что ,  или .

   Можно дать такое определение модуля комплексного числа совпадающее с первым.

Определение. Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат комплексной плоскости до точки, отождествленной с этим числом.

Замечание. Так как действительные числа изображаются здесь точками на координатной оси Ох, то данное выше определение модуля комплексного числа является одновременно и определением модуля действительного числа.

Определение. Модулем действительного числа называется расстояние от начала координат до точки числовой оси, отождествленной с этим числом.